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第二章 信号描述及其分析
【2-1】 描述周期信号的频率结构可采用什么数学工具? 如何进行描述? 周期信号是否可以
进行傅里叶变换? 为什么?
参考答案：一般采用傅里叶级数展开式。根据具体情况可选择采用傅里叶级数三角函数展开式和傅里叶级数复指数函数展开式两种形式。不考虑周期信号的奇偶性,周期信号通过傅里叶级数三角函数展开可表示为:
An?an?bn222T22T2(an???T2x(t)cosn?0tdt bn??x(t)sinn?0tdt )
TT?T2式中，T为信号周期, ?0为信号角频率, ?0
?2?T。
An??图为信号的幅频图, ?n??图为信号的相频图。
周期信号通过傅里叶级数复指数函数展开式可表示为:
Cn是一个复数,可表示为:
Cn??图为信号的幅频图, ?n??图称为信号的相频图。
▲ 不可直接进行傅里叶变换,因为周期信号不具备绝对可积条件。但可间接进行傅里叶
变换。参见书中第25页“正弦和余弦信号的频谱”。 【2-2】 求指数函数x(t)?Ae?at(a?0,t?0)的频谱。
参考答案：由非周期信号的傅里叶变换，X(?)?????x(t)e?j?tdt，得
A由此得到，幅频谱为：X(?)? 22a??
相频谱为： ?(?)??arctan(?a)
?T2?t?00?t?T2
【2-3】 求周期三角波（图2-5a）的傅里叶级数（复指数函数形式）
?A?(2AT)t参考答案：周期三角波为： x(t)???A?(2AT)t
则
1T2Cn??x(t)e?jn?0tdt
T?T24ATA(1?cosn?)?(1?cosn?) 022222n?0T2n?
积分得 Cn?
?2A(n?)2即 Cn???0n??1,?3,?5,L
n?0,?2,?4,L又因为周期三角波为偶函数，则bn?0，所以?n?arctanCnICnR?0
所以，周期三角波傅里叶级数复指数形式展开式为：
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【2-4】 求图2-15所示有限长余弦信号x(t)的频谱。 设 参考答案： 方法一
??cos?0tx(t)????0t?Tt?T
方法二：对于上面所给的有限长余弦信号x(t)，其实也就是用一个窗宽为2T的窗函数把无限长的余弦信号截断所得到的，即把无限长余弦信号x(t)与窗函数相乘，此时所需的窗函数为：
?1t?Tw(t)??。由傅里叶变换的性质可知，时域内相乘，对应在频域内相卷积，即
t?T0?x(t)w(t)?X(f)?W(f)。已知，余弦信号的傅里叶变换是?函数，由?函数的性质，
X(f)?W(f)意味着把W(f)的图像搬移到X(f)图像的位置。
【2-5】当模拟信号转化为数字信号时遇到那些问题？应该怎样解决？
参考答案：遇到的问题：1）采样间隔与频率混叠；2）采样长度与频率分辨率；3）量化与量化误差；4）频谱泄漏与窗函数。 参见课本第26～29页。
第三章 测试系统的基本特性
【3-1】 测试装置的静态特性指标主要有哪那些？它们对装置性能有何影响？
参考答案：主要有：线性度，灵敏度，和回程误差。线性度主要影响系统的测试精度，灵敏度主要影响系统的分辨力，而回程误差主要引起系统的滞后误差。
【3-2】 什么叫一阶系统和二阶系统？它们的传递函数，频率响应函数以及幅频和相频表达
式是什么？
参考答案：
（1）能够用一阶微分方程描述的系统为一阶系统。其传递函数为：
H(s)?Y(s)S? S为系统灵敏度 X(s)?s?1Sj???1
相频特性：?(?)??arctan(??)
频率响应函数为：H(j?)?
幅频特性：A(?)?H(j?)?S1?(??)2（2）能够用用二阶微分方程描述的系统为二阶系统。 其传递函数为：
?n2 频率响应函数为：H(j?)?(j?)2?2??n(j?)??n2
幅频特性：A(?)?H(j?)?
1[1?(??n)]?4?(??n)222
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?2?(??n)?相频特性为：?(?)??arctan?2?
1?(??)n??o【3-3】 求周期信号x(t)?0.5cos(10t)?0.2cos(100t?45)通过传递函数为H(s)?的装置后得到的稳态响应？
10.005s?1o参考答案： 信号x(t)可分解为两个信号x1(t)?0.5cos(10t)和x2(t)?0.2cos(100t?45)。分别求出这两个信号通过装置的响应，再相加，就是信号x(t)的响应。
x1(t)的角频率?1?10，而??0.005，则
x2(t)的角频率?2?100，同理得
所以信号x(t)经过一阶装置的稳态响应为：
【3-4】 一气象气球携带一种时间常数为15s的一阶温度计，并以5m/s的上升速度通过大气层。设温度随所处的高度按每升高30m下降0.150C的规律变化，气球温度和高度的数据用无线电传回地面。在3000m处所记录的温度为?20C。试问实际出现?20C的真实高度是多少？ 参考答案：设实际出现?20C的真实高度为h,则温度计的输入为
1已知一阶温度计的传递函数 H(s)?，故有
?s?10.0252?0.025?0.025?2?2??1?1L[Y(s)]??{L[2]?L[]?L[]}ss?s?1??{0.025t?(2?0.025?)?(0.025??2)e?t?}取拉氏逆变换 ??1.625(1?e?t?)?0.025t?1?1当t?2?，
y(t)??2.1550C，t?1.9?y(t)??2.09440C，t?1.8?y(t)??2.03130C。
设实际出现?20C的真实高度为h，从输入到稳态输出需要一定的过渡时间，一般响应已
达到稳态值的98%以上，调整时间Ts?4?，此题温度计调整时间Ts?60s，则在?20C时，
气球的真实高度H=3000-（60*5）=2700米。
【3-5】某传感器为一阶系统，当阶跃信号作用在该传感器时，在t?0时，输出10mV；t??时，输出100mV；在t?5s时，输出50mV，试求该传感器的时间常数。
参考答案：阶跃信号可表示为
阶跃信号通过一阶系统，其输出的拉氏变换为 取拉氏逆变换，时间常数?y(t)?L?1[Y(s)]?A(1?e?t?)，由题意代入数据得到
?8.5065s
o【3-6】求信号 x(t)?12sin(t?30)?4sin(2t?45o)?10cos(4t?60o),通过一阶系统后的
输出y(t)。设该系统时间常数??1s，系统的灵敏度为S?25。
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参考答案：信号x(t)可分解为三个信号，
x1(t)?12sin(t?30o)，x2(t)?4sin(2t?45o)，x3(t)?10cos(4t?60o)
S21?(??1)分别求出三个周期信号的幅频和相频响应，即
A1(?)?H(j?)?＝21.9，?1(?)??arctan(??1)＝?45，
oo
A2(?)?H(j?)?A3(?)?H(j?)?S1?(?2?)2S1?(?3?)2＝11.1，?2(?)??arctan(?2?)??63.4， ＝6.06，?3(?)??arctan(?3?)??76o
所以稳态输出为：
【3-7】某测试系统频率响应函数为H(?)?3155072，试
(1?0.01j?)(1577536?1760j???2)求该系统对正弦输入x(t)?10sin(62.8t)的稳态响应。
参考答案：该测试系统可看成一个一阶系统和一个二阶系统串联而成。
一阶系统传递函数H(?)?3155072，其中?1?0.01，S1?2；
(1?0.01j?)
二阶系统传递函数H(?)?1，其中S2?1，?n?1256，??0.7。
(1577536?1760j???2)
对一阶系统：A(?)??S11?(??)2?1.6937，?(?)??arctan(??)??32.130
S2?0.9988
对于二阶系统：A(?)??[1?(??n)]?4?(??n)222所以稳态输出为：
【3-8】单位阶跃信号作用于一个二阶装置之后，测得其响应中产生了数值为2.25的第一个
超调量峰值。同时测得其衰减振荡周期为3.14s。已知该装置的静态增益为5，试求该装置的传递函数和该装置在无阻尼固有频率处的频率响应。 参考答案：已知 超调量M?2.25，由??1(?lnM)2?1，得阻尼比??0.25，又
因为衰减振荡周期T?3.14s，则由公式T?2??d，得?d?2 由公式?n??d1??2，得系统的固有频率?n?2.06
已知静态增益为5，即S?5，所以该装置的传递函数为：
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当无阻尼，即??0时，由?n??d1??2，得?n??d?2，代入频响公式即可。
【3-9】设某力传感器可作为二阶振荡系统处理。已知传感器的固有频率为1000Hz，阻尼比
??0.14，问使用该传感器作频率为500Hz的正弦力测试时，其幅值比A(?)和相
角差?(?)各为多少？若该装置的阻尼比可改为?作何种变化？
参考答案：由题意知：?n?1000，?
由 A(?)??0.7，问A(?)和?(?)又将
?0.14，信号??500
21[1?(??n)]?4?(??n)22 ，得 A(?)?1.32
由 ?(?)??arctan(2?(??d)o)?(?)??10.57， 得
1?(??d)2o同理，当??0.7得 A(?)?0.98，?(?)??43.02
【3-10】如何理解信号不失真测试的条件？若要求输入信号通过系统后反相位，则系统有何
要求？
参考答案：系统实现不失真测试可用其幅频特性和相频特性简单表示为：
这表明：1）系统的幅频特性，即灵敏度，在量程范围内要求为常数。任何非线性度、回程误差、漂移的存在，都会引起测试波形的失真。2）相频特性为输入信号频率的线性函数，即不失真测试有一定的频率范围。3）当对测试系统有实时要求（即t0?0）时，上式变为
要求信号通过系统后反相位，则幅频特性和相频特性应为
A(?)?A0,?(?)???
第四章 常用传感器原理及应用
【4-1】 金属电阻应变片与半导体应变片在工作原理上有何区别？各有何优缺点？应如何根
据具体情况选用？
参考答案：
金属电阻应变片的工作原理是基于金属的电阻应变效应，即当金属丝在外力作用下产生机械变形时，其电阻值发生变化。电阻丝的灵敏度较低（1.7～3.6），但是稳定性较好，一般用于测量精度要求较高的场合。
半导体应变片的工作原理是基于压阻效应，即半导体单晶材料在沿某一方向受到外力作用时，电阻率会发生相应变化。半导体应变片的最大优点是灵敏度高（金属电阻应变片的50～70倍），另外，还有横向效应和机械滞后小、体积小等特点。但是温度稳定性差，在较大应变下，灵敏度非线形误差大，在具体使用时，一般需要采用温度补偿和非线性补偿。 【4-2】 有一电阻应变片，其R?120?，灵敏度K=2，设工作时的应变为1000??，问?R??若将此应变片连接成图4-26所示电路，试求1）无应变时电流表示值；2）有应变时
电流表示值；3）电流表指示值的相对变化量；4）试分析这个变化量能否从电流表中读出？
参考答案：
由公式?RR?K?, 得 ?R?0.24?
机械工程测试技术课本习题及参考答案
