(完整word版)高中数学导数知识点归纳总结(可编辑修改word版)

高中导数知识点归纳

一、基本概念 1. 导数的定义：

设 x0 是函数 y ? f (x) 定义域的一点，如果自变量 x 在 x0 处有增量?x ，则函数值 y 也引起相应的

?y f (x0 ? ?x) ? f (x0 )

? 称为函数 y ? f (x) 在点 x 到 x ? ?x 之间的

000 0 ?x ?x f (x0 ? ?x) ? f (x0 ) ?y

存在，则称函数 y ? f (x) 在点 x 处可导，并 平均变化率；如果极限 lim ? lim

0?x?0 ?x ?x?0 ?x

增量?y ? f (x ? ?x) ? f (x ) ；比值

把这个极限叫做 y ? f (x) 在 x0 处的导数。

f ? x? 在点 x 处的导数记作 y??

0 x? x0

? f ?(x ) ? lim0 f (x0 ? ?x) ? f (x0 ) ?x?0 ?x 2 导数的几何意义：（求函数在某点处的切线方程）

函数 y ? f (x) 在点 x0 处的导数的几何意义就是曲线 y ? f (x) 在点(x0 , f (x)) 处的切线的斜率，也

就是说，曲线 y ? f (x) 在点 P (x0 , f (x)) 处的切线的斜率是 f ' (x0 ) 3．基本常见函数的导数:

① C? ? 0;（C 为常数） ③ (sin x)? ? cos x ;

，切线方程为 y ? y? f ' (x)(x ? x).

0

0

② xn

??? ? nxn?1;

④ (cos x)? ? ?sin x ; ⑥ (ax )? ? ax ln a ; ⑧ ?l o g x?? ? log e .

a

⑤ (ex )? ? ex ; ⑦ ?ln x?? ? ;

1 1

x x

a

二、导数的运算

1. 导数的四则运算：

法则 1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，

? 即： ?x? ? g?? x??? f ? x? ? g ? x?????f ??

法则 2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个

? 函数乘以第二个函数的导数，即： ?x? g ? x? ? f ? x? g?? x??? f ? x?? g ? x?????f ??

?

常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： (Cf (x))' ? Cf ' (x).

( C 为常数)

法则 3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以

? f ? ??? f ?? x? x? g ? x? ? f ? x? g?? x???。 分母的平方： ? ?g ? x? ? 0? ? ?2x? ?? g ? ??? g ? x???

2. 复合函数的导数

形如 y ??f [

(x)] 的函数称为复合函数。法则： f ?[(x)] ??f ?()*?(x) .

三、导数的应用

1. 函数的单调性与导数 （1） 设函数 y ??

f (x) 在某个区间(a, b) 可导，

如果 f ' (x) ? 0 ，则 f (x) 在此区间上为增函数；

如果 f ' (x) ? 0 ，则 f (x) 在此区间上为减函数。

（2） 如果在某区间内恒有 f ' (x) ? 0

，则 f (x) 为常函数。

2. 函数的极点与极值：当函数 f (x) 在点 x0 处连续时，

①如果在 x0 附近的左侧 f ' (x)

＞0，右侧 f ' (x) ＜0，那么 f (x) 是极大值；

0

②如果在 x0 附近的左侧 f ' (x)

3. 函数的最值：

＜0，右侧 f ' (x) ＞0，那么 f (x) 是极小值.

0

一般地，在区间[a, b] 上连续的函数 f (x) 在[a, b] 上必有最大值与最小值。函数 f (x) 在区间

[a, b]上的最值 只可能在区间端点及极值点处取得。

求函数 f (x) 在区间[a, b]上最值的一般步骤：①求函数 f (x) 的导数，令导数 f ' (x) ? 0

解出

方程的跟②在区间[a, b] 列出 x, f ' (x), f (x)

的表格，求出极值及 f (a)、f (b) 的值;③比较端点及极

值点处的函数值的大小，从而得出函数的最值

4. 相关结论总结：

①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.

②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 四、例题插播

例 1：函数 f (x) ? x3 ? ax 2 ? 3x ? 9, 已知 f (x)在x ? ?3 时取得极值，则a = (

A．2

B．3

C．4

D．5

)

[解析]：∵ f / (x) ? 3x 2 ? 2ax ? 3 ，又 f (x)在x ? ?3 时取得极值∴ f / (?3) ? 30 ? 6a ? 0 则a =5

例 2. 已知函数 f (x) ? x3 ? bx 2 ? ax ? d 的图像过点P（0,2）,且在点 M (?1, f (?1)) 处的切线方程

为6x ? y ? 7 ? 0 .（Ⅰ）求函数 y ??f (x) 的解析式；（Ⅱ）求函数 y ??f (x) 的单调区间.

答案：（Ⅰ）解析式是 f (x) ? x3 ? 3x 2 ? 3x ? 2.

（Ⅱ）在(1 ??2,1 ??2) 内是减函数，在(1 ??2,??) 内是增函数.