x f(x)符号
－1 － －1 21 2+ 1 － 23 － 3 + + 22?a,由于f(??)??2?3?(?3?2?2?1)??2?3?0,
于是????,|?|??。
另一方面，由韦达定理知，
22?6a2?a3?9??2a?a?1?(8?a2) 2222????(???)?2???(3?a)??9?aaa33?a2?(22)2?8,??2??2?1.
为了估计[a1788]、[a1988]，先一般考察[an]，为此定义：
un??n??n?an.(n?0,1,2,?)
直接计算可知：
u0?3,u1?2???a?3.u2??2??2?a2?9,以及un?3?3un?2?n(n?0).
又因
0??n??n?1(?|?|??,即?n??n?0,又????3???2?22?1,当n?2时，
?n??n?|?|n??n??2??2?1),则an?un?(?n??n)?un?1?[1?(?n??n)]. ?[an]?un?1.(n?1,2,?)
由此知，命题变为证明：u1788?1和u1988?1能被17整除. 现考察?un?在模17的意义下的情况：
u0?3,u1?3,u2?9,u3?7,u4?1,u5?11,u6?9,,u7?9,u8?16,u9?5,u10?6,u11?2
u12?1,u13?14,u14?6,u15?0,u16?3,u17?3,u18?9,??
可见，在模17意义下，?un?是16为周期的模周期数列，即un?16?un(mod17).由于
1788?12(mod16),1988?4(mod16),
故u1788?u12?1(mod17),u1988?u4?1(mod17),
故u1788?1?0,u1988?1?0(mod17).命题得证.
说明 本题利用导数估计了根的分布，递推式的构造需要仔细体味。
情景再现
lmn??????3337．设三角形的三边长分别是整数l,m,n,且l?m?n.已知?4???4???4?其中
?10??10??10??x??x??x?而?x?表示不超过x的最大整数. 求这种三角形周长的最小值.
习题17
A
1．证明对于任何整数k?0,22．试判断1971?197226276k?1?36k?1?56k?1能被7整除；
?197328能被3整除吗？
3．求14＋24＋34＋…＋20044的末位数。
nn?14．试证：对一切正整数n，an?5?2?3?1能被8整除。
B
*5．设p?p1p2........pn是最初的几个质数的乘积，这里n?N,n?2。证明p-1和p+1
都不是完全平方数。
6．设a，b，c，d是4个整数，证明：差b－a，c－a，d－a，c－b，d－b，d－c的积能被12整除。 7．正整数n满足：十进制表示下n的末三位数为888，求满足条件的最小的n值 。 8．在每张卡片上各写出11111到99999的五位数，然后把这些卡片按任意顺序排成一列，证明所得到的444445位数不可能是2的幂；
3C
9．在1，2，3，…1989，…1994中最多可以取多少个数，使得所取的 数中任意3个数之和能被18整除。
10．给出一个数198519841983…654321，它是由大到小依次写出自然数1985、1984、…、直到写出3、2、1后连接成一个数而成，现从其首位起，把首位数字乘以2加上第二位数
字，把结果再乘以2后加上第三位数字，再把结果乘以2后加上第四位数字，…，这样一直算下去，直到个位数字为止，于是得到一个新的数，把新的数再按上述方法做一次，又得第二个数，…这样一直做下去，直到得到一个一位数为止，问得到的一位数是多少？ 11．设a,b,c是三个互不相等的正整数，求证：a3b－ab3，b3c－bc3,c3a－ca3三个数中，至少有一个数能被10整除．
12．连结正n边形的顶点，得到一个闭的n年折线形，证明：当n为 偶数，则在连线中有两条平行线。
“情景再现”解答：
1．依题意可知：T?S1?S2?S3?S4
＝S1?S1?10?S1?20?S1?30
?T?4S1?60?0(mod4)1980?1981?990?1981?2(mod4)2．解：3＋5＋7＋
2?产生矛盾，?不能这样分组；又QT?1?2?3?L?1980?5＋6=26，
2003≡1(mod 11)，26＋x≡1(mod 11)?x=8，即只要报8． 以后每次甲报k时，乙就报11－k即可．
3．将54个座位按逆时针由1开始编号：1，2，3，……
如果满足要求的排法存在，则不妨设1和11是同一国的代表，从而11和21不是同一国的代表，故21和31是同一国家代表．进一步可以得出：20k?1和20k?11是同一国家的代表（若20k?1和20k?11大于54，则取它们被54除的余数为号码的位置，比如61即等同于7）．
特别地，取k?13时，261和271是同一国家的代表，然而
261?45?mod54?，271?1?mod54?．
即1和45是同一国家的代表，与1和11是同一国家的代表矛盾．命题得证． 4．a3+23=a3－1+24,∴a3－1≡0 (mod 24),∴3|a3－1，8|a3－1．
由a≡0,1,2 (mod 3)得a3≡0,1,2 (mod 3)；
若a为偶数，则a3≡0(mod 8),若a为奇数，则a2≡1,故a3≡a (mod 8)． 从而 a≡1 (mod 24); 于是 a=1，25，49，73，97，共有5个数． 5． 1001≡0（mod13）
108≡1000≡－1（mod13）
106≡1（mod13） 10≡4（mod13）
102≡16≡10（mod6） 103≡102≡10（mod6）
10n≡10n-1≡…≡10≡4（mod6） 10n＝6k＋4 ∴1010n≡106k+4≡(106)k×104≡1k×104≡104≡3（mod13）
6． （1）?19,8,9???21,7,8???23,6,7???22,5,9?
??24,4,8???23,3,10???22,2,12?．
（2）不可能完成．由于每次操作后，每堆棋子数目或者减1，或者加2，不妨写为
?a,b,c???a?1,b?1,c?2?．
若a,b,c被3除的余数均不相等，则操作后得到的三个数a?1，b?1，c?2被3除的余数的变化为 ?1,2,0???0,1,2?，?0,2,1???2,1,0?，?0,1,2???2,0,1?． 也就是说，每次操作后不改变三个数被3除的余数互不相等这样一个事实．
由于一开始给的三个数被3除的余数各不相等，而所要求达到的结果被3除的余数都为0，故不能完成．
3l?3l?3m?3m?3n?3n?7．由题设可知4??4??4??4??4??4?,
10?10?10?10?10?10?lmn4??3?3?3(mod2)LLL(1)lmn4于是3?3?3(mod10)??l mn4??3?3?3(mod5)LLL(2)由于(3,2)=(3,5)=1,∴由①可知3l?n?3m?n(mod24).
u4v43?1(mod2)3?1(mod2)的正整u现在设是满足的最小正整数,则对于任意满足
uv,即u整除v.事实上,若u不整除v, 则由带余除法可知,存在非负整数a及b, 使得v?au?b,其中0?b?u?1。
数v,我们有
bb?auv43?3?3?1(mod2),而这显然与u的定义矛盾, 所以uv. 注意从而可以推出
到
3u?3(mod24),32?9(mod24),33?27?11(mod24),34?1(mod24)，从而可以设
m?n?4k,其中k为正整数.
同理可由推出3m?n?1(mod54).故34k?1(mod54). ?1(mod54)的正整数k.
现在我们求满足34k4k4k4443?1?(1?5?2)?1?0(mod5) 3?1?5?2因为,所以
k(k?1)28k(k?1)(k?2)3125k?24??5?2??5?226即
k(k?1)(k?2)311?5?2?0(mod54)3
k(k?1)(k?2)211k?5k[3?(k?1)?27]??5?2?0(mod53)3或 ?5k?52k[3?(k?1)?27]?即有k?5t,并代入该式得t?5t[3?(k?1)?2]?0(mod5) 即有t?0(mod5).
3即k?5t?5s,其中s为正整数,
722故m?n?500s,s为正整数.
同理可以证得l?n?500r, r为正整数. 由于l?m?n.,所以有r?s.
这样一来,三角形的三个边为500r?n,500s?n和n.由于两边之差小于第三边,故
n?500(r?s),因此,当s?1,r?2,n?501时三角形的周长最小,其值为
(1000+501)+(500+501)+501=3003.
“习题”解答：
A
1．令M?26k?1?36k?1?56k?1
?M?2?26k?3?36k?56k?1
?2?64k?3?729k?15625k?1?2?(7?9?1)k?3?(7?104?1)k?(7?2232?1)k?1
?2?7?A?2?3?7?B?3?7?C?1?1?(2?3?1?1)(mod7)?0(mod7)?对于?k?0,且k?Z,26k?1?36k?1?56k?1都能被7整除；
2．Q1971?0(mod3),1972?1(mod3),1973?2(mod3)
?197126?197227?197328?(026?127?228)(mod3)即：197126?197227?197328?(1?228)(mod3)又Q2?4?1(mod3),?(1?2)?2(mod3)?197126?197227?197328不能被3整除；3．解：记14＋24＋34＋…＋20044＝N，设N的末位数为a，则N≡a（mod 10） ∴N4≡a4（mod 10）
∵14≡1（mod 10） 24≡6（mod 10） 34≡1（mod 10） 44≡6（mod 10）
54≡5（mod 10） 64≡6（mod 10） 74≡1（mod 10） 84≡6（mod 10） 94≡1（mod 10）
∴14＋24＋34＋…＋20044≡200×（14＋24＋34＋…＋104）＋14＋24＋34＋44≡14≡4（mod 10）即末位数为4
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江苏省数学竞赛《提优教程》教案第36讲同余
