选修 第2章 第2节
知能训练·提升
考点一：常列数列的极限
121212
1．(2010·广西四市联考)若f(n)＝－2＋3－4＋…＋2n－1－2n(其中n∈N*)，则
333333＝
( )
1
A. 81C. 2
1B. 65D. 8
f(n)
1111(1－2n)2x2(1－2n)
333121212311
解析：f(n)＝－2＋3－4＋…＋2n1－2n＝－＝(1－2n)，
333311833－31－21－2
331
＝，故选A. 8
答案：A 2．求下列极限： (1) (2)
111 (1－2)(1－2)…(1－2)；
23nn(n2＋1－n)．
f(n)
111
解：(1)∵(1－2)(1－2)…(1－2)
23n111111
＝(1＋)(1－)(1＋)(1－)…(1＋)(1－)
2233nnn＋112n－1n＋134＝(··…·)(··…·)＝. 23n23n2n∴原式＝(2)原式＝
n＋11
＝. 2n2n1
＝.
n2＋1＋n2
考点二：已知极限求字母参数
3.
(1＋a)n＋1
＝2，则a＝________.
n＋a
用心 爱心 专心
解析：答案：1 4．已知
(1＋a)n＋1 ＝a＋1＝2，∴a＝1.
n＋a
n2＋1 (－an－b)＝0 n＋1
求a和b的值． n2＋1解：∵－an－b
n＋1n2＋1－an2－an－bn－b＝
n＋1(1－a)n2－(a＋b)n＋(1－b)＝
n＋1由已知
??1－a＝0，n2＋1
(－an－b)＝0，得?即a＝1，b＝－1. n＋1?a＋b＝0，?
考点三：数列极根的应用
5．若
(3an＋4bn)＝8，
(6an－bn)＝1，则
(3an＋bn)等于
( )
A．1 C．3
B．2 D．4
解析：设3an＋bn＝x(3an＋4bn)＋y(6an－bn)，
???3x＋6y＝3.
由?可解得?1?4x－y＝1.?y＝?3
1
x＝3
.
∴1＝[3
(3an＋bn)＝ (3an＋4bn)＋
1
[(3an＋4bn)＋(6an－bn)] 3
(6an－bn)]＝3.
答案：C
6．已知Sn＝2＋kan为数列{an}的前n项和，其中k≠1且k≠0. (1)求an； (2)若
Sn＝2，求k的取值范围．
??S1， n＝1
解：对于(1)可利用关系an＝?求解；对于(2)关键是将条件转化为
?Sn－Sn－1，n≥2?
an
＝0.
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2
(1)当n＝1时，an＝S1＝2＋ka1，解得a1＝，
1－k当n≥2时，∵an＝Sn－Sn－1＝kan－kan－1， ∴
ank＝(k≠1)， an－1k－1
k
为公比的等比数列， k－1
又∵k≠0，∴数列{an}是以2kn－1
故an＝().
1－kk－1(2)∵∴
Sn＝2，∴an＝0，即
[
(2＋kan)＝2，
2kn－1k()]＝0，∴||＜1，即k2＜k2－2k＋1. 1－kk－1k－1
1
解得k＜且k≠0.
2
7．(2010·武汉五月调研)动点P从原点出发沿x轴正方向移动距离a到达点P1，再沿yaa
轴正向移动距离到达点P2，再沿x轴正向移动距离2到达点P3，…，依次类推，无限进行，
22每次移动距离缩小一半．
(1)求动点P行进路线长的极限． (2)求动点P与坐标平面哪一点无限接近． aa
解：(1)动点P行进路线长为：a＋＋2＋…，
22a
∴S＝＝2a.
11－2
(2)设动点P与平面上的点P(x′，y′)无限接近，则： aaa4
x′＝a＋2＋4＋…＝＝a.
2213
1－4aaa2y′＝＋3＋5＋…＝＝a.
22213
1－4
42
∴动点P与平面上点Q(a，a)无限接近．
33
8．如图所示，在边长为a1的正方形A1B1C1D1中，依次作无限个内接正方形A2B2C2D2，A3B3C3D3，…，使∠B1A2B2＝∠B2A3B3＝…＝θ，令其边长依次为a2，a3，…
a2
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(1)用θ，a1表示a2及an； (2)求
(a1＋a2＋…＋an)．
π
解：(1)如题图所示，a1＝a2sinθ＋a2cosθ＝2a2·sin(θ＋)，
4∴a2＝
，在第n个正方形(边长为an)AnBnCnDn的内接正方形An＋1Bn＋1Cn＋1Dnπ
2sin(θ＋)
4a1
＋1
(边长为an＋1)内有：
π
an＝an＋1·sinθ＋an＋1·cosθ＝2an＋1sin(θ＋)，
4∴an＋1
＝an
1π
2sin(θ＋)
4
1π
2sin(θ＋)
4
，
∴an＝a1[]n1(n∈N*)．
－
ππ3ππ
(2)∵＜θ＋＜，∴1＜2sin(θ＋)≤2，
4444∴1≤2
1π
2sin(θ＋)
4
＜1，即公比|q|＜1.
π
2a1sin(θ＋)
4
∴n→∞lim (a1＋a2＋…＋an)＝.
π
2sin(θ＋)－1
4
1.(2009·湖北)设(
2－
＋x)2n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2n－1x2n1＋a2nx2n，则2
[a0＋a2＋a4
＋…a2n)2－(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)2]等于
( )
A．－1 C．1
B．0 D.2 2
解析：令x＝1，则(
22
＋1)2n＝a0＋a1＋a2＋…＋a2n－1＋a2n，令x＝－1，则(－1)2n＝22
a0－a1＋a2＋…－a2n－1＋a2n，
用心 爱心 专心
两式分别相加减可得
22
(＋1)2n＋(－1)2n22
a0＋a2＋a4＋…＋a2n＝，
222
(＋1)2n－(－1)2n22
a1＋a3＋a5＋…a2n－1＝，
2
11
∴(a0＋a2＋…＋a2n)2－(a1＋a3＋…＋a2n－1)2＝(－)2n＝()n，
24故原式＝0.
2．(2009·陕西)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝S3＝12，则解析：由a6＝S3＝12?a1＝2，d＝2，an＝2n， 则Sn＝n2＋n，故答案：1
1
3．(2008·天津)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则
3
an＝________.
Sn＝n2
1
(1＋)＝1.
n
Sn
＝________. n2
111
解析：an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1＝n＋n1＋…＋2＋1
33－311
(1－n1)93－＝＋1，∴
11－3
7答案：
6
5
4．(2008·安徽)在数列{an}中，an＝4n－，a1＋a2＋…＋an＝an2＋bn，n∈N*，其中a，
2an－bn
b为常数，则n→∞lim n的值为________．
a＋bn
53
解析：∵an＝4n－，∴a1＝.
22
(a1＋an)n11
∴Sn＝＝2n2－n.∴a＝2，b＝－.
222
a－b
n
n
7
an＝＋1＝.
161－
3
19
∴
＝an＋bn
1
2n－(－)n
2
＝
1nn
2＋(－)
211－(－)n
4
＝1.
1n
1＋(－)4
答案：1
用心 爱心 专心
高考一轮数学复习 X2-2数列的极限 理 同步练习(名师解析)
