∴∠E=180°﹣∠AGE﹣∠EKG=2α， ∵∠FGB=∠ACH， ∴∠ACH=2α， ∴∠ACH=∠E， ∴CA∥FE．
（3）作NP⊥AC于P． ∵∠ACH=∠E， ∴sin∠E=sin∠ACH=则CH=∵CA∥FE， ∴∠CAK=∠AGE， ∵∠AGE=∠AKH， ∴∠CAK=∠AKH，
∴AC=CK=5a，HK=CK﹣CH=4a，tan∠AKH=∵AK=∴
a=
， ，
=3，AK=
=
a，
=，设AH=3a，AC=5a，
=，
=4a，tan∠CAH=
∴a=1．AC=5， ∵∠BHD=∠AGB=90°， ∴∠BHD+∠AGB=180°，
在四边形BGKH中，∠BHD+∠HKG+∠AGB+∠ABG=360°， ∴∠ABG+∠HKG=180°，∵∠AKH+∠HKG=180°， ∴∠AKH=∠ABG， ∵∠ACN=∠ABG， ∴∠AKH=∠ACN，
∴tan∠AKH=tan∠ACN=3， ∵NP⊥AC于P， ∴∠APN=∠CPN=90°，
在Rt△APN中，tan∠CAH=在Rt△CPN中，tan∠ACN=∴CP=4b，
∴AC=AP+CP=13b， ∵AC=5， ∴13b=5， ∴b=∴CN=
，
=4
b=
=，设PN=12b，则AP=9b， =3，
．
六．解答题（共1小题） 24．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）过点A，B， ∴
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2； ∵y=x2﹣x﹣2=（x﹣）2﹣∴C（，﹣
（2）如图1，以AB为直径作圆M，则抛物线在圆内的部分，能使∠APB为钝角，
，
）．
∴M（，0），⊙M的半径=．
∵P′是抛物线与y轴的交点， ∴OP′=2， ∴MP′=∴P′在⊙M上，
∴P′的对称点（3，﹣2），
∴当﹣1＜m＜0或3＜m＜4时，∠APB为钝角．
=，
（3）方法一： 存在；
抛物线向左或向右平移，因为AB、P′C′是定值，所以A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短，只要AC′+BP′最小；
第一种情况：抛物线向右平移，AC′+BP′＞AC+BP，
第二种情况：向左平移，如图2所示，由（2）可知P（3，﹣2），
又∵C（，﹣∴C'（﹣t，﹣∵AB=5，
）
），P'（3﹣t，﹣2），
∴P″（﹣2﹣t，﹣2），
要使AC′+BP′最短，只要AC′+AP″最短即可， 点C′关于x轴的对称点C″（﹣t，设直线P″C″的解析式为：y=kx+b，
，
），
解得
∴直线y=x+t+，
当P″、A、C″在一条直线上时，周长最小， ∴﹣∴t=
+．
个单位连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短．
t+
=0
故将抛物线向左平移方法二：
∵AB、P′C′是定值，
∴A、B、P′、C′所构成的四边形的周长最短，只需AC′+BP′最小， ①若抛物线向左平移，设平移t个单位，
∴C′（﹣t，﹣），P″（﹣2﹣t，﹣2），
∵四边形P″ABP′为平行四边形， ∴AP″=BP′，
AC′+BP′最短，即AC′+AP″最短， C′关于x轴的对称点为C″（﹣t，
），
C″，A，P″三点共线时，AC′+AP″最短， KAC′=KAP″，
，
∴t=．
，
②若抛物线向右平移，同理可得t=﹣∴将抛物线向左平移
个单位时，A、B、P′、C′所构成的多边形周长最短．
2019年江西省宜春市高安市中考数学三模试卷含答案解析
