第十一章 反常积分复习自测题
一、体会各类反常积分（无穷积分、瑕积分和混合反常积分）的特点，能准确地判定所给反常积分的类型；熟习并熟练掌握各类反常积分收敛和发散的含义，并用各类反常积分收敛和发散的含义解决下面的问题：
1、正确地判断下列反常积分的敛散性：
（1）
???aa1??11；（2）?；（3）?。 dx（a?0）dx（a?0）dx（a?0）
0xp0xpxp2、正确地判断下列反常积分的敛散性： （1）
???aa??111dxdx（）；（2）（）；（3）a?1a?1?1x(lnx)p?1x(lnx)pdx。 x(lnx)p3、探索下列反常积分的敛散性，若收敛，并求其值： （1）
???01??11（2）?（3）?dx；dx；220??1?x1?x11?x2dx；（4）?1?111?x2dx。
4、用定义据理说明下面的关系：（反常积分的牛顿—莱布尼茨公式、分部积分法、换元法、奇偶
函数的积分特征）
（1）若函数f(x)在[a,??)上连续，F(x)为f(x)在[a,??)上的原函数，记
F(??)?limf(x)，
x???则无穷积分
???af(x)dx收敛?F(??)?limf(x)存在，且
x??????af(x)dx?F(x)??a。
（2）若函数f(x)在(??,??)上连续，F(x)为f(x)在(??,??)上的原函数，记
F(??)?limf(x)，F(??)?limf(x)，
x???x???则无穷积分
?????f(x)dx收敛?F(??)?limf(x)和F(??)?limf(x)都存在，且
x???x??????af(x)dx?F(x)??a。
（3）若函数f(x)和g(x)都在[a,??)上连续可微，且limf(x)g(x)存在，则无穷积分
x??????af(x)g?(x)dx收敛????af?(x)g(x)dx收敛，且
??a????a???af(x)g?(x)dx??f(x)g(x)?f?(x)g(x)dx，
其中f(??)g(??)?limf(x)g(x)。
x???（4）若函数f(x)在[a,??)上连续，x??(t)在[?,?)（其中?为有限数或??）上连续可导，且严格单调递增，则无穷积分?([?,?))?[a,??)，敛，且
???af(x)dx收敛?积分???f(?(t))??(t)dt收
?若f(x)为偶函数，则
??af(x)dx????f(?(t))??(t)dt。
（5）设函数f(x)在(??,??)上连续，
??????f(x)dx收敛????0f(x)dx收敛，且 f(x)dx；
?????若f(x)为奇函数，则
????????f(x)dx?2?0??0f(x)dx收敛????f(x)dx收敛，且?f(x)dx?0。
提示：注意由换元法可得
?0??f(x)dx???x??t0??f(?t)dt????0???f(t)dt,f为偶函数??0f(?t)dt????。
???f(t)dt,f为奇函数?0ba二、举例说明下面关系不一定成立：
1、瑕积分
?baf(x)dx收敛不一定能推出瑕积分?f2(x)dx；无穷积分???af(x)dx收敛也不
一定能推出无穷积分
???af2(x)dx收敛；
??a注：定积分的乘法性对反常积分不一定成立。 2、无穷积分
???af(x)dx收敛不一定能推出无穷积分?f(x)dx收敛；
注：注意与定积分的绝对值性质的区别。 3、设函数f(x)在[a,??)上连续，且
???af(x)dx收敛，则limf(x)?0不一定成立；
x???三、通过下面的问题探索limf(x)的情况：
x???1、设函数f(x)定义在[a,??)上，且在任何[a,u]?[a,??)上可积，
???af(x)dx收敛，若
x???limf(x)?A存在，则limf(x)?0；
x???2、利用1探索：
（1）设函数f(x)在[a,??)上单调，且
???af(x)dx收敛，则limf(x)?0；
x???（2）设函数f(x)在[a,??)上连续可导，且
???af(x)dx与???af?(x)dx都收敛，则
x???limf(x)?0；
3、设函数f(x)在[a,??)上连续，且一致连续；
???a则limf(x)?0?f(x)在[a,??)上f(x)dx收敛，
x???4、设函数f(x)在[a,??)上连续，且（1）证明：当u?a时，lim???af(x)dx收敛，试探索下面的问题：
u????u?cu，从而 f(x)dx?0（其中c为任意给定的正数）
a?n?1a?nlim?n??f(x)dx?0；
提示：注意到无穷积分的定义即可。
（2）利用（1）和积分第一中值公式证明：在[a,??)中，存在严格递增的数列{xn}满足：
limxn???，limf(xn)?0；
n??n??（3）类似于（1）方法证明：若函数f(x)在[a,??)上单调递增（减），且则还有limxf(x)?0。
x??????af(x)dx收敛，
注：注意到第三大题的第2小题（1），（3）表明：f(x)?o()（x???）。
提示：不妨设f(x)在[a,??)上单调递增，注意到下面的积分不等式以及无穷积分的定义即可：
当u?2a时，21x?u1u2f(x)dx?uf(u)??2uuf(x)dx。
5、若函数f(x)在[a,??)（a?0）上连续可微，且单调递增（减），则
????a??af(x)dx收敛????axf?(x)dx收敛。
提示：利用第三大题的第4小题（3）以及反常积分的分部积分公式
xf?(x)dx????axdf(x)?xf(x)??a????af(x)dx。
四、仔细体会并熟练掌握无穷积分和瑕积分的线性性、区间可加性和绝对值性质（注意体会性质的内容、含义以及在反常积分敛散性判别中的作用）；理解反常积分绝对收敛和条件收敛的含义；用适当性质解决下面的问题：
1、若无穷积分
???af(x)dx收敛，无穷积分???a??ag(x)dx发散，则无穷积分
??f(x)?g(x)?dx发散；
提示：反证法。 2、判断
???21??1??2?dx的敛散性； xlnx??x
数学分析》第十一章反常积分复习自测题[1]
