极值点偏移（部分）
极值点偏移问题的两种常见解法之比较
在高考导数压轴题中，不断出现极值点偏移问题，那么，什么是极值点偏移问题？参考陈宽宏、邢友宝、赖淑明等老师的文章，极值点偏移问题的表述是：已知函数y?f(x)是连续函数，在区间(x1,x2)内有且只有一个极值点x0，且f(x1)?f(x2)，若极值点左右的“增
x1?x2，我们称这种状态为极值点不偏移；若极值点左2x?x2右的“增减速度”不同，函数的图象不具有对称性，常常有极值点x0?1的情况，我们
2减速度”相同，常常有极值点x0?称这种状态为“极值点偏移”.
极值点偏移问题常用两种方法证明：一是函数的单调性，若函数f(x)在区间(a,b)内单调递增，则对区间(a,b)内的任意两个变量x1、x2，f(x1)?f(x2)?x1?x2；若函数
f(x)在区间(a,b)内单调递减，则对区间(a,b)内的任意两个变量x1、x2，f(x1)?f(x2)?x1?x2. 二是利用“对数平均不等式”证明，什么是“对数平均”？什么又是
“对数平均不等式”？
?a?b,a?b,?两个正数a和b的对数平均数定义：L(a,b)??lna?lnb
??a,a?b,对数平均数与算术平均数、几何平均数的大小关系是：ab?L(a,b)?记为对数平均不等式）
下面给出对数平均不等式的证明： i）当a?b?0时，显然等号成立
ii）当a?b?0时，不妨设a?b?0， ①先证ab?a?b，（此式2aaba?ba?b?，要证ab?，只须证：ln?，
bbalna?lnblna?lnb 令a1?x?1，只须证：2lnx?x?,x?1 bx21(x?1)21?0，所以f(x) 设f(x)?2lnx?x?,x?1，则f?(x)??1?2??2xxxx在(1,??)内单调递减，所以f(x)?f(1)?0，即2lnx?x?
1
1， xa?b
lna?lnba?ba?b①再证： ?lna?lnb2故ab?aa?1lna?ba?b 要证：，只须证：b??b
alna?lnb22?1bax?1lnx2lnx 令?x?1，则只须证：，只须证1???，x?1
bx?12x?1221?(x?1)22lnx???0 设g(x)?1?，x?1，则g?(x)??22(x?1)2x2x(x?1)x?12 所以g(x)在区间(1,??)内单调递减，所以g(x)?g(1)?0，即1? 故
2lnx， ?x?12a?ba?b ?lna?lnb2a?b2
x2综上述，当a?0,b?0时，ab?L(a,b)?例1 （2016年高考数学全国Ⅰ理科第21题）已知函数f(x)?(x?2)e?a(x?1)有两个零点．
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅰ）设x1,x2是f(x)的两个零点，证明：x1?x2?2．（附解答）
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例2 （2011年高考数学辽宁卷理科第21题）已知函数f(x)?lnx?ax?(2?a)x （Ⅰ）讨论函数f(x)的单调性；
（Ⅱ）若曲线y?f(x)与x轴交于A、B两点，A、B中点的横坐标为x0，证明：
2f?(x0)?0
（附解答）
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