离散傅里叶变换

离散傅里叶变换

第三章 离散傅里叶变换

离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义，相对于DTFT他更便于用计算机处理。但是，直至上个世纪六十年代，由于数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量较大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应用，快速离散傅里叶变换算法的提出，才得以显现出离散傅里叶变换的强大功能，并被广泛地应用于各种数字信号处理系统中。近年来，计算机的处理速率有了惊人的发展，同时在数字信号处理领域出现了许多新的方法，但在许多应用中始终无法替代离散傅里叶变换及其快速算法。

§ 3-1 引言

一.DFT是重要的变换

1.分析有限长序列的有用工具。

2.在信号处理的理论上有重要意义。

3.在运算方法上起核心作用，谱分析、卷积、相关都可以通DFT在计算机上 实现。

二.DFT是现代信号处理桥梁 DFT要解决两个问题：

傅氏变换 离散量化 DFT(FFT) 信号处理

一是离散与量化， 二是快速运算。

§ 3-2 傅氏变换的几种可能形式

一. 连续时间、连续频率的傅氏变换-傅氏变换

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离散傅里叶变换

X(t) 正:X(j?)?????x(t)e?j?tdtt

1反:x(t)?2?????X(j?)ej?td?时域信号 连续的 非周期的

对称性：

频域信号 非周期的 连续的

时域连续，则频域非周期。 反之亦然。 二.连续时间、离散频率傅里叶变换-傅氏级数

x(t)--- Tp--- 0 t

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离散傅里叶变换

X(jk?0)?0

*时域周期为Tp, 频域谱线间隔为2π/Tp

?0?2?Tp

1正:X(jk?0)?Tp?Tp/2?Tp/2x(t)e?jk?0tdt反:x(t)?k?????X(jk?0)ejk?0t时域信号 连续的 周期的

三.离散时间、连续频率的傅氏变换

频域信号 非周期的 离散的

--序列的傅氏变换

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离散傅里叶变换

x(nT) T -T 0 T 2T

t

正:X(ej?T)?n????x(nT)e??jn?T1反:x(nT)??s??s/2??s/2X(ej?T)ejn?Td?2?*时域抽样间隔为T,频域的周期为?s?T时域信号 离散的 非周期的

频域信号 周期的 连续的

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离散傅里叶变换

四.离散时间、离散频率的傅氏变换--DFT

1Tp?FTp?NTNT 0 T 2T

1 2 N n

t

x(ejk?0T)x(k)2??s?T1fs?T?0??s?N?02??2?FTp0 0 周期的。

?02?0N?00 1 (N?1)?N(N?1)?k

由上述分析可知，要想在时域和频域都是离散的，那么两域必须是

时域信号 离散的 周期的

频域信号 周期的 离散的

2?*时域是周期为Tp函数，频域的离散间隔为?0?;Tp2?时域的离散间隔为T,频域的周期为?s?.T5 / 32