第九讲 几何综合问题
这一讲我们学习几何综合题，题型是复杂而巧妙的．这种问题往往需要我们有点武侠小说中“借力打力”的能力，不要硬碰硬，而是借巧劲．比如已知一个面积为2的正方形，求边长为其两倍的正方形的面积．把边长具体数值求出来，用边长的关系来计算面积的想法是不可行的．而且事实上也是没必要的，我们可以把面积为2的正方形边长设为a，它的两倍为2a，则
a2?2，以2a为边长的正方形面积为2a?2a?4?a2?4?2?8．我们再来看几个用类似想法解决的问题．
本讲知识点汇总：
一、
巧用面积公式，利用图形面积之间的和差关系来求解图形面积．
1. 圆与直角三角形中利用勾股定理．
2. 同底三角形利用“公共底?高的和?2”求面积和，
“公共底?高的差?2”求面积差．
3. 不去考虑每块图形的面积，而是将若干块图形放在一起，考虑其面
积之间的和差关系．
二、
辅助线与几何变换．
1. 通过割、补，将图形的变为规则图形，以便于分析． 2. 通过几何变换（翻转、对称）等，将图形变得易于求解．
三、
图形运动．
能够正确地画出简单几何图形（如圆等）在运动过程中所扫过区域的
边界，并求解相关的长度和面积．
如图，阴影部分的面积是25平方厘米，求圆环的面积．（?取3.14） 例1．
O D A
C B
「分析」阴影部分等于大等腰直角三角形减去小等腰直角三角形，而圆环等于大圆减去小圆．那么阴影部分面积与圆环面积之间有什么联系呢？
练习1、下图中阴影部分的面积是40平方厘米，求圆环的面积．（π取3.14）
O
如图，在长方形ABCD中，AB?30厘米，BC?40厘米，P为BC上一点，PQ垂直例2．
于AC，PR垂直于BD．求PQ与PR的长度之和．
O R B
P
C Q
A D 「分析」如果这道题只是要尝试出一个结果的话，我们只要让P取特殊点，例如取成B点，所求的长度之和就是B点到AC边的距离．但PQ与PR的长度之和是否是一个固定的值呢？
练习2、P为CD边上一点，PQ与BD垂直，如图，在面积为72的正方形中，
PR与AC垂直．求PQ与PR的和．
AO QD
P
RCB
例3． 如图，P为长方形ABCD内的一点．三角形PAB的面积为5，三角形PBC的面积为
13．请问：三角形PBD的面积是多少？ A
P D
B
C
「分析」直接用面积公式或者比例关系来求三角形PBD面积，显然不可行．那么还有什么方法可以用来求三角形PBD面积呢？
练习3、如图，P为长方形ABCD外的一点．三角形PAB的面积为7，三角形
PBC的面积为20，三角形PCD的面积为4．请问：三角形PAD的面积是多少？三角形PAC的面积又是多少？
P A D B
C
中国古代的几何学
形的研究属于几何学的范畴．古代民族都具有形的简单概念，并往往以图画来表示，而图形之所以成为数学对象，便是由工具的制作与测量的要求所促成的．规矩以作圆方，中国古代夏禹泊水时即已有规、矩、准、绳等测量工具．《史记》“夏本纪”记载说：夏禹治水，“左规矩，右准绳”．“规”是圆规，“矩”是直角尺，“准绳”则是确定铅垂方向的器械．这些都说明了早期几何学的应用．从战国时代的著作《考工记》中也可以看到与手工业制作有关的实用几何知识．
战国时期墨子所写的《墨经》中，对一系列的几何概念进行抽象概括，作出了科学的定义．《周髀算经》与刘徽的《海岛算经》则给出了用矩观测天地的一般方法与具体公式．在《九章算术》及刘徽注解的《九章算术》中，除勾股定理外，还提出了若干一般原理以解决多种问题．例如求任意多边形面积的出入相补原理；求多面体体积的刘徽原理；5世纪祖暅提出的用以求曲形体积特别是球的体积的“幂势既同则积不容异”的原理；以内接正多边形逼近圆周长的极限方法（割圆术）等．
如图，一个六边形的6个内角都是120?，其连续四边的长依次是1厘米、9厘米、9例4．
厘米、5厘米．求这个六边形的周长．
9 9
5
1
「分析」所给六边形各内角都是120°，这使我们联想到正六边形．在求解与正六边形有关的题目时，最常用的方法有两种：一种是“割”，一种是“补”．“割”是指把六边形分割干个边长或面积为1的正三角形；“补”是指在正六边形中取出三条互不相邻的边来延长，补成一个正三角形．这两种方法对本题适用吗？
练习4、一个六边形的6个内角都是120?，并有连续的三边长均为6厘米．如
果这个六边形的周长是32厘米，那么该六边形最长的边有多长？
6 6 6
如图，在四边形ABCD中，AB?30，AD?48，BC?14，且?ABD??BDC?90?，例5．
?ADB??DBC?90?．请问：四边形ABCD的面积是多少？
B
「分析」本题的条件让人感觉很别扭，虽然?ABD??BDC?90?，但它们并不是紧挨着的；虽然?ADB??DBC?90?，但它们也不是紧挨着的．那究竟对这个图形做怎样的变换，才
C
D A
高斯小学奥数六年级上册含答案第09讲 几何综合
