www.100xuexi.com圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台第5章定积分5.1复习笔记一、定积分的概念与性质1．定积分的定义（1）定义①分割a＝x0＜x1＜x2＜…＜xn－1＜xn＝b；②任取一点?i∈[xi－1，xi]，作?f????x；i?1iin③λ＝max{Δx1，Δx2，…，Δxn}，如果lim
??0?f????x存在，则称这个极限为函数f（x）i?1iin在区间[a，b]上的定积分，记作b?f?x?dx，即a
b
?f????x?f?x?dx?I?lim?a?0i?1ini（2）“ε－δ”表达式设有常数I，对于?ε＞0，?δ＞0，使得对于区间[a，b]的所有分法，不论?i在[xi－1，xi]中如何选取，只要λ＝max{Δx1，…，Δxn}＜δ，总有（x）在区间[a，b]上的定积分，记作?f????x?I
i?1
i
i
n
??成立，则称I是f?f?x?dx。a
b
2．定积分相关定理（1）定理1设f（x）在区间[a，b]上连续，则f（x）在[a，b]上可积。（2）定理21/197www.100xuexi.com圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台设f（x）在区间[a，b]上有界，且只有有限个间断点，则f（x）在[a，b]上可积。3．定积分的几何意义表3-1-1定积分的几何意义图5-1-14．定积分的性质（1）定积分的两点补充规定①当b＝a时，②当a＞b时，?f?x?dx?0；a
a
?f?x?dx???f?x?dx。a
b
ba
（2）定积分的性质①性质1设α与β均为常数，则?
b
a
???f?x???g?x???dx???af?x?dx???ag?x?dx
bb
注：性质1对于任意有限个函数的线性组合也是成立的。2/197www.100xuexi.com圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台②性质2设a＜c＜b，则?f?x?dx??f?x?dx??f?x?dx
a
a
c
bcb
注：不论a，b，c的相对位置如何，总有等式③性质3如果在区间[a，b]上f（x）≡1，则?f?x?dx??f?x?dx??f?x?dx成立。a
a
c
bcb
?
④性质4b
a
1dx??dx?b?a
a
b
如果在区间[a，b]上f（x）≥0，则?f?x?dx?0 ?a?b?a
b
a．推论1如果在区间[a，b]上f（x）≤g（x），则?f?x?dx??g?x?dx ?a?b?a
a
bb
b．推论2?
⑤性质5b
a
f?x?dx??f?x?dx?a?b?a
b
设M及m分别是函数f（x）在区间[a，b]上的最大值及最小值，则m?b?a???f?x?dx?M?b?a? ?a?b?a
b
（3）积分中值公式?f?x?dx?f????b?a?（?在a与b之间）a
b
不论a＜b或a＞b都是成立的。3/197www.100xuexi.com圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台①积分中值公式的几何意义在区间[a，b]上至少存在一点?，使得以区间[a，b]为底边、以曲线y＝f（x）为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为f（?）的一个矩形的面积（图5-1-3）。图5-1-3②f（x）在区间[a，b]上的平均值f????
1bf?x?dx?ab?a二、微积分基本公式1．积分上限的函数及其导数（1）定理1如果函数f（x）在区间[a，b]上连续，则积分上限的函数??x??可导，且?f?t?dt在[a，b]上a
x
???x??
dx
f?t?dt?f?x? ?a?x?b??adx（2）定理2（原函数的存在定理）如果函数f（x）在区间[a，b]上连续，则函数??x??的一个原函数。?f?t?dt就是f（x）在[a，b]上a
x
4/197www.100xuexi.com圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台b
2．牛顿-莱布尼茨公式?f?x?dx?F?b??F?a?a
其中F（x）是连续函数f（x）在区间[a，b]上的一个原函数。三、定积分的换元法和分部积分法1．定积分的换元法（1）定理设函数f（x）在区间[a，b]上连续，函数x＝φ（t）满足条件：①φ（α）＝a，φ（β）＝b；②φ（t）在[α，β]（或[β，α]）上具有连续导数，且其值域Rφ＝[a，b]，则有?f?x?dx???a
b?f????t??????t?dt
该公式称为换元公式。（2）应用换元公式的注意事项①用x＝φ（t）把原来变量x换成t时，积分限也要相应改变为t的积分限；②求出f[φ（t）]φ′（t）的一个原函数Φ（t）后，不需要像计算不定积分那样再把Φ（t）变换成原变量x的函数，而只需把t的上、下限分别代入Φ（t）中然后相减即可；③换元公式也可反过来使用，即?
【例】由于b
a
f????x??????x?dx???f?t?dt
?④在使用换元公式中，三角函数在去绝对值或者开根号时要考虑上下限区间。sinx?sinx?sinx?1?sinx??sinx?cosx
353232在[0，π/2]上，|cosx|＝cosx；在[π/2，π]上，|cosx|＝－cosx。5/197
同济大学数学系《高等数学》(上册)学习辅导书(5-7章)【圣才出品】
