第二章 初等积分法
一．[内容简介]
本章主要介绍几种能用初等积分法求解的方程类型及其求解的一般方法.虽然这些类型是很有限的，但是它们却反映了实际问题中出现的微分方程的相当部分，另一方面，掌握这些方法和技巧，也是学好本书的最重要的基本训练之一.
二．[关键词] 恰当方程，变量分离的方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努里方程，积分因子 三．[目的与要求]
1．会识别和求解恰当方程，变量分离的方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努里方程和黎卡提方程.
2． 领会用变量代换求解微分方程的思想和技巧，逐渐掌握根据方程的特点去寻找适当的变量代换，从而把比较复杂的微分方程转化为已知求解方法的微分方程.
3．掌握利用积分因子求解微分方程的方法. 四．[教学过程]
§1 恰当方程
微分方程的一个中心问题就是求解，计算不定积分就是解最简单的微分方程学中的问题，但是在解微分方程
y?dy?f(x,y)dxdydx?f(x)，这是积分
时，如果直接积分，得
?f(x,y)dx?C.
一般说来，由此得不出任何结果，因为右端的积分号内包含有未知函数.因此解微分方程与求积分有不同之处，但是解微分方程是积分法的发展，二者是互相联系的.在求微分方程时，应去发现微分方程的求解问题与积分问题的联系，创造条件把某些微分方程的求解问题转化为积分问题，即求原函数的问题.这是解微分方程的一种方法，习惯上称为微分方程的初等积分法.
把一阶微分方程写成对称形式
P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0
(1.1)
联想起二元函数微积分学中的全微分表达式：
???x???yd?(x,y)?dx?dy，
如果
???x?P(x,y)，
???y?Q(x,y) (1.2)
则(1.1)的左端恰好是函数?(x,y)的全微分
d?(x,y)?P(x,y)dx?Q(x,y)dy，
那么不论其中的y与x是独立变量，还是存在着某种函数关系，我们总能对等式d?(x,y)?0
积分，得到
?(x,y)?C (1.3)
称(1.3)为(1.1)的一个通积分，此时称方程(1.1)为恰当方程，或全微分方程.
例1 求解微分方程 2xy3dx?3x2y2dy?0.
解 显然 d(x2y3)?2xy3dx?3x2y2dy，所以上面的方程即d(x2y3)?0，故求得通积分
xy?C.
23对于例1这样一个简单的微分方程，我们可以通过观察法求解.在一般情况下，需要解决的问题是： （1） 对于一个方程(1.1)，如何判断它是或者不是恰当方程？
（2） 若(1.1)是恰当方程，又如何求得相应全微分的原函数?(x,y)？
（3） 若(1.1)不是恰当方程，能不能想办法把它变成恰当方程？
以上（1）、（2）两个问题，其实早在线积分的理论中就已解决了. 事实上，若(1.1)是恰当方程，则存在函数?(x,y)，使得
d?(x,y)?P(x,y)dx?Q(x,y)dy，
从而得
???x?P(x,y)，
???y?Q(x,y) (1.4)
将(1.4)的第一式和第二式分别对y和x求偏导数，得到
?P?y????y?x2，
?Q?x????x?y2 (1.5)
假设P(x,y),Q(x,y)具有连续的一阶偏导数
?P?y与
?Q?x，则
???y?x2和
???x?y2是连续的，从而可得
???y?x2????x?y2，
故
?P(x,y)?y??Q(x,y)?x (1.6)
反之，设P(x,y)和Q(x,y)满足条件(1.6)，我们来寻找满足(1.4)的函数?(x,y).由(1.4)的第一式有
?(x,y)??xx0P(t,y)dt??(y) (1.7)
其中函数?(y)待定.
??(x,y)?y先选取?(y)，使寻找的函数?(x,y)也满足(1.4)的第二式?Q(x,y)，即
??y(?P(t,y)dt)??(y)?Q(x,y)
x0x'再利用条件(1.6)，有
?x?Q(t,y)?tx0dt??(y)?Q(x,y)，
''即 ?(y)?Q(x0,y)，
故只要取 ?(y)?代入(1.7)，得到
?(x,y)??yy0Q(x0,t)dt，
?xx0P(t,y)dt??yy0Q(x0,t)dt (1.8)
(1.8)即为所要找的满足关系式(1.4)的函数?(x,y)，从而(1.1)为恰当方程.
类似地，如果在构造函数?(x,y)时，先考虑(1.4)式的第二式成立，则可以用同样的方法得到满足
(1.4)的另一函数
~ ?(x,y)??xx0P(t,y0)dt??yy0Q(x,t)dt (1.9)
如此，我们就得到了下面的
定理1 设函数P(x,y)和Q(x,y)在区域
D:??x??,??y??
?P?y?Q?x上连续，且有连续的一阶偏导数与，则微分方程(1.1)为恰当方程的充要条件为恒等式
?P(x,y)?y??Q(x,y)?x (1.6)
在D内成立，且(1.6)成立时，方程(1.1)的通积分为 或者
??xx0P(t,y)dt??yy0Q(x0,t)dt?C (1.10)
xx0P(t,y0)dt??yy0Q(x,t)dt?C (1.11)
其中(x0,y0)是D中任意取定的一点.
例2 求解微分方程
(2xsiny?3xy)dx?(x?xcosy?y)dy?0 (1.12)
2322解 这里P(x,y)?2xsiny?3x2y，Q(x,y)?x3?x2cosy?y2，故
?P?y2?2xcosy?3x，
?Q?x?3x?2xcosy，
2因此方程(1.12)是恰当方程.
现在求?(x,y)，使它同时满足如下两个方程
???x?2xsiny?3xy，
2???y?x?xcosy?y，
322将第一式对x积分，得到
??xsiny?xy??(y) (1.13)
23再将它代入上面第二式，即得
xcosy?x??(y)?x?xcosy?y，
23'322于是
?(y)?y，
'2积分后可得
?(y)?13y.
13y代入(1.13)，得到
333这里省略了积分常数.将?(y)?2?(x,y)?xsiny?xy?13y.
3因此，方程(1.12)的通积分为
xsiny?xy?2313y3?C，
其中C为任意常数.
附注1：对于某些恰当方程，并不需要按照上述一般方法来求解，而是采用“分项组合”的办法，先把那些本身已构成全微分的项分出，再把剩下的项凑成全微分.例如，对于方程(1.12)，就可以采用“分项组合”的办法来求解.
把方程的左端重新分项组合，得到
(2xsinydx?xcosydy)?(3xydx?xdy)?ydy ?[sinyd(x)?xd(siny)]?[yd(x)?xdy]?ydy ?d(xsiny)?d(xy)?d(?d(xsiny?xy?232322322233213y)
213y)，
2于是方程的通积分为
xsiny?xy?2313y2?C.
附注2：求解恰当方程的关键是找出全微分的原函数?(x,y)，这实际上就是场论中的位势问题.在单连通区域D上条件(1.6)保证了线积分
?(x,y)??(x,y)(x0,y0)P(x,y)dx?Q(x,y)dy (1.14)
与积分的路径无关.因此(1.14)式确定了一个单值函数?(x,y).公式(1.10)与(1.11)所取的积分路径仅仅是两种简单且便于计算的特殊路径. 习题2—1
判断下列方程是否为恰当方程，并且对恰当方程求解.
（1） (x?2y)dx?(2x?y)dy?0.
?P?y?Q?x解 因为?2?，所以方程是恰当方程.将方程改写为
xdx?(2ydx?2xdy)?ydy?0，
即 d(故方程的通积分为
x2x22)?2d(xy)?d(y22)?0，
2?2xy?y22?C.
（2） (ax?by)dx?(bx?cy)dy?0， (b?0).
恰当方程
