力学竞赛试题及答案
一、 四叶玫瑰线
解：（1）对于四叶玫瑰曲线??acos2?，在直角坐标系中可写成（图3-1）
? x??cos? 将??acos2?代入上式， 得 ? y??sin??? x?acos2?cos? ? （1） y?acos2?sin??利用三角函数的积化和差公式 cos?cos??[cos(???)?cos(???)]
121cos?sin??[sin(???)?sin(???)]
2a? x?(cos3??cos?)??2可得 ? （2）
a? y?(sin3??sin?)?2?
yyRrO1??,??OxO·?··e?Ex
图3-1 图3-2
（2）现设计一行星齿轮机构来画此曲线。如图3-2所示的行星齿轮机构，小齿轮O1在固定内齿轮O内作纯滚动，其中内齿轮的半径为R，小齿轮的半径为r，画笔所在E点离小齿轮圆心O1的距离为e。随系杆OO1的转动，其E点的轨迹为
? xE?(R?r)cos??ecos? ? y?(R?r)sin??esin??E利用小齿轮的纯滚动条件R??r(???)，有??R?r?，代入上式可得 rword.
R?r? x?(R?r)cos??ecos(?)??Er ?R?r? y?(R?r)sin??esin(?)E?r?作变换，令??3?，上式可改写为
R?r? x?(R?r)cos3??ecos(3?)??Er ?? y?(R?r)sin3??esin(3R?r?)E?r?（3）
对照式（2）和式（3）中的系数，有
e?联解之，得
aR?ra， R?r?， 3?1
2r23aa ， e? （4） 22 R?2a， r?做一个如图3-2所示的行星齿轮绘图机构，取式（4）中的参数，即可画出??acos2?的四叶玫瑰曲线。
二． 手指转笔
在你思考问题时有用手指转笔的习惯吗？请你用下述刚体简化模型，进行分析计算： （1）本问题与力学中的什么内容有关系？
（2）求出笔绕手指无滑动转一周中，手指作用于笔的正压力和摩擦力的大小； （3）给出笔与手指间的摩擦因数?随AC长度x变化应满足的条件。
手指转笔的刚体简化模型：如题4图所示，设手指为半径为R的圆柱，笔为一回转半径为?的细直杆（对质心C转动惯量为m?2）。设手指保持不动，开始时笔在距质心C距离为?的A处与手指相切，初角速度为?o，设???R，且杆始终在垂直于手指的同一平面内转动，忽略重力的影响。
word.
ROA??x?·C?0
解：（1）关键词：平面运动学分析，刚体平面运动微分方程，机械能守恒。
（2）设某瞬时杆与圆柱相切于点A?（圆柱上的点），此时杆绕A?旋转的角速度为?，质心C与A距离为x。杆对A的转动惯量为JA?m(?2?x2)，依题意，A为杆此刻的速度瞬心，由机械能守恒可得
12 JA?2?m?2?o2故 ??222?2?o?2?x2 （1）
n?设杆受压力FN和摩擦力F，如图4-1（a）所示，aC，aC分别为质心加速度的径向和
切向分量，?为杆转动的角加速度。
FFNAnaC?aC·C?
?aCAAnnaCaCAxnaA·C??aCnaA （a） （b） 图4-1
A和A?两点瞬时重合，A相对于A?的加速度与A?相对于A的加速度等值反向，而
aA?A?R?2（纯滚动接触点的加速度），由A指向O。故有aAA??R?2，由O指向A，且Aword.
点的加速度无切向分量，而由基点法可知
n?n?aC?aC?aC?aA?aCA?aCA （2）
n??R?2，aCA?x?。代入式（2）后，投影得 方向如图4-1b所示，其中 aA?aA?naC?R?2??x， aC??2x （3）
根据刚体平面运动微分方程，可列出
nmacx?maC?F????macy??maC??FN ? （4）
?m?2??FNx??联立求解式（3）和式（4），可得
F?m?x?222m?2?o??x22 （5）
FN?maC??22m?4R?o(?2?x2)2?0 （6）
（3）、分析摩擦因数?应满足的条件：若使杆始终不与圆柱脱离，则摩擦因数?应满足
x(?2?x2)F?????(x) （7）
FNR?2因 x???R?，对???0 , 2??，有x??0 , ??，（???R）。则
?max(x)??(?)?故 ??三、 小虫在转盘上爬行
2? R2? R一光滑水平面上的圆盘，中心O用无摩擦轴固定，圆盘对此转轴的转动惯量为Jo。在圆盘上P点有一个质量为m的小虫，处于静止状态，如题5（a）图所示。小虫在转盘上爬行将引起转盘的转动。请你分析计算。
（1）本问题与力学中的什么内容有关系？
（2）在t1时刻小虫开始爬行，当我们在转盘中看到小虫的轨迹如题5图（b）所示时（假设小虫相对转盘逆时针运动），试求出转盘转过的角度。
（3）若我们在转盘中看到小虫的轨迹如题3图（c）所示的圆弧时，试求出转盘转过的
word.
角度，并求出当小虫沿圆弧爬行一周时，转盘转过的角度。
yOmPx
y?y?QQOPx?O?Px?
（a） （b） （c） 题3图
解：(1) 关键词：点的合成运动，动量矩守恒。
（2） 取小虫为动点，定参考系O?xyz，动参考系O?x?y?z?固连在转盘上，与转盘一起转动。
根据题中提供的条件，转盘和小虫的重力平行于转轴，系统对转轴O的动量矩守恒。设在t1时刻，v为小虫相对于定参考系的速度（即绝对速度），vr为小虫相对于转盘参考系的速度，转盘的角速度为?，r 为小虫相对于定参考系的位矢，r?为小虫相对于动参考系的位矢，牵连速度ve???r?。如图3、图4所示。
根据点的速度合成公式，有
v?vr?ve?vr???r? （1）
由于系统对转轴的动量矩守恒，有
Jo??mr??v?0 （2）
在此问题中，r?r?，可以得到
Jo??mr??(vr?r?)?0
进一步有
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