常用逻辑用语
一、选择题
1.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( ) A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数” B.“若一个数的平方是正数,则它是负数” C.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数” D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数”
B [依题意,得原命题的逆命题:若一个数的平方是正数,则它是负数.]
2.已知全集S=R,A?S,B?S,若命题p:2∈(A∪B),则命题“綈p”是( ) A.2?A B.2??SB C.2?(A∩B) D.2∈(?SA)∩(?SB)
D [p:2∈(A∪B),綈p:2∈?S(A∪B),即2∈(?SA)∩(?SB).] 3.“x>2 019”是“x>2 018”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
A [由于“x>2 019”时,一定有“x>2 018”,反之不成立,所以“x>2 019”是“x>2 018”的充分不必要条件.]
4.命题“?x0∈?RQ,x0∈Q”的否定是( ) A.?x0??RQ,x0∈Q B.?x0∈?RQ,x0?Q C.?x??RQ,x∈Q D.?x∈?RQ,x?Q
D [特称命题的否定是全称命题.“?”的否定是“?”,x∈Q的否定是x?Q.命题“?
3
x0∈?RQ,x30∈Q”的否定是“?x∈?RQ,x?Q”,故应选D.]
3
3
3333
3
2
2
2
2
2
2
5.设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的
( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
A [∵菱形的对角线互相垂直,∴“四边形ABCD为菱形”?“AC⊥BC”,∴“四边形
ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分条件;又∵对角线垂直的四边形不一定是菱形,
∴“AC⊥BD”D/?“四边形ABCD为菱形”,∴“四边形ABCD为菱形”不是“AC⊥BD”的必要条件.
综上,“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件.]
6.设U为全集.A,B是集合,则“存在集合C使得A?C,B??UC”是“A∩B=?”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要的条件
C [由Venn图易知充分性成立.反之,A∩B=?时,由Venn图(如图)可知,存在A=C,同时满足A?C,B??UC.
故“存在集合C使得A?C,B??UC”是“A∩B=?”的充要条件.]
7.设α,β是两个不同的平面,m是直线且m?α.则“m∥β”是“α∥β”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
B [m?α,m∥βD/?α∥β,但m?α,α∥β?m∥β,∴m∥β是α∥β的必要而不充分条件.]
8.已知命题“若x=5,则x-8x+15=0”,那么它的逆命题、否命题与逆否命题这三个命题中,真命题有( )
A.0个 C.2个
22
B.1个 D.3个
B [原命题“若x=5,则x-8x+15=0”为真命题. 当x-8x+15=0时,x=3或x=5.
2
故其逆命题:“若x-8x+15=0,则x=5”为假命题.
又由四种命题之间的关系知该命题的逆否命题为真命题,否命题为假命题.]
9.已知命题p:所有有理数都是实数;命题q:正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题的是( )
A.(綈p)∨q C.(綈p)∧(綈q)
B.p∧q
D.(綈p)∨(綈q)
2
D [不难判断命题p为真命题,命题q为假命题,从而上述叙述中只有(綈p)∨(綈q)为真命题.]
10.已知命题p,q,“綈p为真”是“p∧q为假”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
A [由“綈p为真”可得p为假,故p∧q为假;反之不成立.]
11.已知命题p:“x>2是x>4的充要条件”,命题q:“若2>2,则a>b”,那么( )
A.“p或q”为真 C.p真q假
B.“p且q”为真 D.p,q均为假
2
acbcA [由已知得命题p是假命题,命题q是真命题,因此选A.] 12.下列命题中的假命题是( ) A.?x∈R,2
*
x-1
>0
2
B.?x∈N,(x-1)>0 C.?x0∈R,lg x0<1 π??D.?x0∈R,tan?x0+?=5 4??
B [A项,∵x∈R,∴x-1∈R,由指数函数性质得2
x-1
>0;B项,∵x∈N,∴当x=1
*
1122
时,(x-1)=0与(x-1)>0矛盾;C项,当x0=时,lg=-1<1;D项,当x∈R时,
1010π??tan x∈R,∴?x0∈R,tan?x0+?=5.]
4??
13.已知命题p:若a=(1,2)与b=(-2,λ)共线,则λ=-4;命题q:?k∈R,直线y=kx+1与圆x+y-2y=0相交.则下面结论正确的是( )
A.(綈p)∨q是真命题 B.p∧(綈q)是真命题
2
2
C.p∧q是假命题 D.p∨q是假命题
A [命题p为真,命题q:圆心(0,1)到直线kx-y+1=0的距离为d=
|0|
k2+1
<1,命题
q是真命题.故(綈p)∨q是真命题.]
14.命题p:?x∈R,sin x<1,命题q:?x∈R,cos x≤-1,则下列结论是真命题的是( )
A.p∧q C.p∨(綈q)
B.(綈p)∧q D.(綈p)∧(綈q)
π
B [当x=时,sin x=1,故p为假命题,易知q为真命题,则(綈p)∧q为真命题,
2选B.]
15.已知命题p:?x0∈R,ex0-mx0=0,q:?x∈R,x+mx+1≥0,若p∨(綈q)为假命题,则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,0)∪(2,+∞) C.R
B.[0,2] D.?
xxx2
ee
B [若p∨(綈q)为假命题,则p假q真.由e-mx=0,得m=,设f(x)=,则f′(x)
xx=
e·x-e
xxx2
x-1ex=,当x>1时,f′(x)>0,此时函数单调递增,当0 x2 xe 此时函数单调递减,当x<0时,f′(x)<0,此时函数单调递减,∴当x=1时,f(x)=取得 xe 极小值f(1)=e,∴函数f(x)=的值域为(-∞,0)∪[e,+∞),若命题p为假命题时,则 xx0≤m 二、填空题 16.“若x,y全为零,则xy=0”的否命题为 . 若x,y不全为零,则xy≠0 [由于“全为零”的否定为“不全为零”,所以“若x,y全为零,则xy=0”的否命题为“若x,y不全为零,则xy≠0”.] 17.命题“每个函数都有奇偶性”的否定是 . 有些函数没有奇偶性 [命题的量词是“每个”,即为全称命题,因此其否定是特称命题,用量词“有些、有的、存在一个、至少有一个”等,再否定结论.故应填:有些函数没有奇偶性.] 18.若命题“?x0∈R,x0+(a-1)x0+1<0”是真命题,则实数a的取值范围是 . (-∞,-1)∪(3,+∞) [∵命题“?x0∈R,x0+(a-1)x0+1<0”等价于x0+(a-1)x0 2 2 2 2 +1=0有两个不等的实根,∴Δ=(a-1)-4>0,即a-2a-3>0,解得a<-1或a>3.] 19.已知直线l1:x+ay+6=0和l2:(a-2)x+3y+2a=0,则l1∥l2的充要条件是a= . -1 [由1×3-a×(a-2)=0得a=3或-1,而a=3时,两条直线重合,所以a=-1.] 三、解答题 20.判断下列复合命题的真假. (1)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边; (2)不等式x-2x+1>0的解集为R且不等式x-2x+2≤1的解集为?. [解] (1)这个命题是“p且q”形式的复合命题,其中p:等腰三角形顶角的平分线平分底边,q:等腰三角形顶角的平分线垂直于底边,因为p真q真,则“p且q”为真,所以该命题是真命题. (2)这个命题是“p且q”形式的复合命题,其中p:不等式x-2x+1>0的解集为R,q:不等式x-2x+2≤1的解集为?.因为p假q假,所以“p且q”为假,故该命题为假命题. 21.已知p:?x∈R,2x>m(x+1),q:?x0∈R,x0+2x0-m-1=0,且p∧q为真,求实数m的取值范围. [解] 2x>m(x+1)可化为mx-2x+m<0. 若p:?x∈R,2x>m(x+1)为真,则mx-2x+m<0对任意的x∈R恒成立. 当m=0时,不等式可化为-2x<0,显然不恒成立; 当m≠0时,由m<0且Δ=4-4m<0,所以m<-1. 若q:?x0∈R,x0+2x0-m-1=0为真,则方程x+2x-m-1=0有实根, 所以Δ=4+4(m+1)≥0,所以m≥-2. 又p∧q为真,故p,q均为真命题. 所以m<-1且m≥-2,所以m的取值范围为-2≤m<-1. 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 22