常用逻辑用语
一、选择题
1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( ) A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B．“若一个数的平方是正数，则它是负数” C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
B [依题意，得原命题的逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．]
2．已知全集S＝R，A?S，B?S，若命题p：2∈(A∪B)，则命题“綈p”是( ) A．2?A B．2??SB C．2?(A∩B) D．2∈(?SA)∩(?SB)
D [p：2∈(A∪B)，綈p：2∈?S(A∪B)，即2∈(?SA)∩(?SB)．] 3．“x>2 019”是“x>2 018”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [由于“x>2 019”时，一定有“x>2 018”，反之不成立，所以“x>2 019”是“x>2 018”的充分不必要条件．]
4．命题“?x0∈?RQ，x0∈Q”的否定是( ) A．?x0??RQ，x0∈Q B．?x0∈?RQ，x0?Q C．?x??RQ，x∈Q D．?x∈?RQ，x?Q
D [特称命题的否定是全称命题．“?”的否定是“?”，x∈Q的否定是x?Q.命题“?
3
x0∈?RQ，x30∈Q”的否定是“?x∈?RQ，x?Q”，故应选D．]
3
3
3333
3
2
2
2
2
2
2
5．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的
( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [∵菱形的对角线互相垂直，∴“四边形ABCD为菱形”?“AC⊥BC”，∴“四边形
ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分条件；又∵对角线垂直的四边形不一定是菱形，
∴“AC⊥BD”D/?“四边形ABCD为菱形”，∴“四边形ABCD为菱形”不是“AC⊥BD”的必要条件．
综上，“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．]
6．设U为全集．A，B是集合，则“存在集合C使得A?C，B??UC”是“A∩B＝?”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要的条件
C [由Venn图易知充分性成立．反之，A∩B＝?时，由Venn图(如图)可知，存在A＝C，同时满足A?C，B??UC．
故“存在集合C使得A?C，B??UC”是“A∩B＝?”的充要条件．]
7．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m?α.则“m∥β”是“α∥β”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B [m?α，m∥βD/?α∥β，但m?α，α∥β?m∥β，∴m∥β是α∥β的必要而不充分条件．]
8．已知命题“若x＝5，则x－8x＋15＝0”，那么它的逆命题、否命题与逆否命题这三个命题中，真命题有( )
A．0个 C．2个
22
B．1个 D．3个
B [原命题“若x＝5，则x－8x＋15＝0”为真命题． 当x－8x＋15＝0时，x＝3或x＝5.
2
故其逆命题：“若x－8x＋15＝0，则x＝5”为假命题．
又由四种命题之间的关系知该命题的逆否命题为真命题，否命题为假命题．]
9．已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )
A．(綈p)∨q C．(綈p)∧(綈q)
B．p∧q
D．(綈p)∨(綈q)
2
D [不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而上述叙述中只有(綈p)∨(綈q)为真命题．]
10．已知命题p，q，“綈p为真”是“p∧q为假”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [由“綈p为真”可得p为假，故p∧q为假；反之不成立．]
11．已知命题p：“x＞2是x＞4的充要条件”，命题q：“若2＞2，则a＞b”，那么( )
A．“p或q”为真 C．p真q假
B．“p且q”为真 D．p，q均为假
2
acbcA [由已知得命题p是假命题，命题q是真命题，因此选A．] 12．下列命题中的假命题是( ) A．?x∈R,2
*
x－1
＞0
2
B．?x∈N，(x－1)＞0 C．?x0∈R，lg x0＜1 π??D．?x0∈R，tan?x0＋?＝5 4??
B [A项，∵x∈R，∴x－1∈R，由指数函数性质得2
x－1
＞0；B项，∵x∈N，∴当x＝1
*
1122
时，(x－1)＝0与(x－1)＞0矛盾；C项，当x0＝时，lg＝－1＜1；D项，当x∈R时，
1010π??tan x∈R，∴?x0∈R，tan?x0＋?＝5.]
4??
13．已知命题p：若a＝(1,2)与b＝(－2，λ)共线，则λ＝－4；命题q：?k∈R，直线y＝kx＋1与圆x＋y－2y＝0相交．则下面结论正确的是( )
A．(綈p)∨q是真命题 B．p∧(綈q)是真命题
2
2
C．p∧q是假命题 D．p∨q是假命题
A [命题p为真，命题q：圆心(0,1)到直线kx－y＋1＝0的距离为d＝
|0|
k2＋1
<1，命题
q是真命题．故(綈p)∨q是真命题．]
14．命题p：?x∈R，sin x＜1，命题q：?x∈R，cos x≤－1，则下列结论是真命题的是( )
A．p∧q C．p∨(綈q)
B．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q)
π
B [当x＝时，sin x＝1，故p为假命题，易知q为真命题，则(綈p)∧q为真命题，
2选B．]
15．已知命题p：?x0∈R，ex0－mx0＝0，q：?x∈R，x＋mx＋1≥0，若p∨(綈q)为假命题，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，0)∪(2，＋∞) C．R
B．[0,2] D．?
xxx2
ee
B [若p∨(綈q)为假命题，则p假q真．由e－mx＝0，得m＝，设f(x)＝，则f′(x)
xx＝
e·x－e
xxx2
x－1ex＝，当x>1时，f′(x)>0，此时函数单调递增，当0 x2 xe 此时函数单调递减，当x<0时，f′(x)<0，此时函数单调递减，∴当x＝1时，f(x)＝取得 xe 极小值f(1)＝e，∴函数f(x)＝的值域为(－∞，0)∪[e，＋∞)，若命题p为假命题时，则 xx0≤m 二、填空题 16．“若x，y全为零，则xy＝0”的否命题为 ． 若x，y不全为零，则xy≠0 [由于“全为零”的否定为“不全为零”，所以“若x，y全为零，则xy＝0”的否命题为“若x，y不全为零，则xy≠0”．] 17．命题“每个函数都有奇偶性”的否定是 ． 有些函数没有奇偶性 [命题的量词是“每个”，即为全称命题，因此其否定是特称命题，用量词“有些、有的、存在一个、至少有一个”等，再否定结论．故应填：有些函数没有奇偶性．] 18．若命题“?x0∈R，x0＋(a－1)x0＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是 ． (－∞，－1)∪(3，＋∞) [∵命题“?x0∈R，x0＋(a－1)x0＋1＜0”等价于x0＋(a－1)x0 2 2 2 2 ＋1＝0有两个不等的实根，∴Δ＝(a－1)－4＞0，即a－2a－3＞0，解得a＜－1或a＞3.] 19．已知直线l1：x＋ay＋6＝0和l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0，则l1∥l2的充要条件是a＝ . －1 [由1×3－a×(a－2)＝0得a＝3或－1，而a＝3时，两条直线重合，所以a＝－1.] 三、解答题 20．判断下列复合命题的真假． (1)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边； (2)不等式x－2x＋1＞0的解集为R且不等式x－2x＋2≤1的解集为?. [解] (1)这个命题是“p且q”形式的复合命题，其中p：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为p真q真，则“p且q”为真，所以该命题是真命题． (2)这个命题是“p且q”形式的复合命题，其中p：不等式x－2x＋1＞0的解集为R，q：不等式x－2x＋2≤1的解集为?.因为p假q假，所以“p且q”为假，故该命题为假命题． 21．已知p：?x∈R,2x>m(x＋1)，q：?x0∈R，x0＋2x0－m－1＝0，且p∧q为真，求实数m的取值范围． [解] 2x>m(x＋1)可化为mx－2x＋m<0. 若p：?x∈R,2x>m(x＋1)为真，则mx－2x＋m<0对任意的x∈R恒成立． 当m＝0时，不等式可化为－2x<0，显然不恒成立； 当m≠0时，由m<0且Δ＝4－4m<0，所以m<－1. 若q：?x0∈R，x0＋2x0－m－1＝0为真，则方程x＋2x－m－1＝0有实根， 所以Δ＝4＋4(m＋1)≥0，所以m≥－2. 又p∧q为真，故p，q均为真命题． 所以m<－1且m≥－2，所以m的取值范围为－2≤m<－1. 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 22
广东省2024高考数学学业水平合格考试总复习学业达标集训常用逻辑用语含解析
