节 次 授课学时 2学时/每班
周 次 授课内容 日 期 §5? 1 定积分概念与性质 教学目的 理解定积分的概念，掌握定积分的性质 教学重点 定积分的概念，定积分的性质 教学难点 定积分的概念 教 具 和 黑板+粉笔 媒体使用 教学方法 讲授法、类比法、练习法、讨论法、启发式等 第一节 定积分的概念与性质 一、定积分问题举例 二、定积分定义 三、定积分的性质 性质1：?a?f(x)?g(x)?dx??af(x)dx??ag(x)dx 教 学 过 程 性质2：bbb?akf(x)dx?k?acbbf(x)dx 性质3：（对积分区间的可加性）设a?c?b，则 ?abf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx acbbaab性质4：若在区间?a,b?上，f(x)?1，则?1dx??dx?b?a 性质5：若在区间?a,b?上，f(x)≥0，则?f(x)dx≥0 ab性质6：（估值定理）设M，m分别是m(b?a)≤ ?f(x)dx≤M(b?a) abf(x)在?a,b?上的最大值和最小值，则 性质7：（积分中值定理）设f(x)在?a,b?上连续，则在?a,b?上至少存在一点?，使得 思考题 利用定积分定义计算：?xdx (a?b) ab?abf(x)dx?f(?)(b?a)（a≤?≤b）这个公式叫做积分中值公式．
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第五章 定积分
第一节 定积分的概念与性质
一、引例
1．曲边梯形的面积
定义：将由曲线y?f(x)（f(x)≥0且是连续的），直线面图形称为曲边梯形．它在
x?a，x?b和x轴围成的平
x轴上的边称为底边，曲线弧y?f(x)称为它的曲边．
求曲边梯形面积的具体过程如下： 分割：在(a,b)内任意插入n?1个分点
a?x0?x1?x2?????xn?1?xn?b
把?a,b?分成n个小区间xi?1,xi， 它们的长度分别记?xi???xi?xi?1，i?1,2,???,n
求近似：任意取一点?i??xi?1,xi?，?Ai?f(?i)?(xi?xi?1)?f(?i)?xi 求和：A???A??f(?)?x
iiii?1i?1nn取极限：A?lim?0→?f(?)?xii?1nimax{?xi} ，其中??1≤i≤n2．变速直线运动的路程
设一物体作直线运动，其速度为v?v(t)≥0是时间间隔?T1,T2?上的连续函数，计算在这段时间间隔内物体所经过的位移s． 具体计算步骤如下:
分割：在(T1,T2)中任意插入n?1个分点，T1?t0?t1?t2?????tn?1?tn?T2 将?T1,T2?分成n个小时间段
?ti?1,ti?，各小时间段的长度分别记为?ti?ti?ti?1，i?1,2,???,n
求近似：任意取一点?i??ti?1,ti?，?si?v(?i)??ti 求和：s???s??v(?)?tiii?1i?1nnni
取极限：s?lim?v(?i)?ti，其中??max{?ti}
?→0i?11≤i≤n 2
二、定积分的定义
定义：设函数f(x)在?a,b?上有界．在(a,b)内任意插入n?1个分点，
a?x0?x1?x2?????xn?1?xn?b，把?a,b?分成n长度记为?xi个小区间
?xi?1,xi?，各个小区间的
?xi?xi?1，i?1,2,???,n．在每个小区间上任取一点?i，即xi?1≤?i≤xi，作函
f(?i)?xi．记??max{?x}，?i?11≤i≤ni数值f(?i)与小区间长度?xi的乘积f(?i)?xi，并求出和S?n如果不论对?a,b?怎样划分，也不论在小区间上如何选取点?i，只要当?→0时，和S总趋于确定的极限I，那么称这个极限I为函数f(x)在区间?a,b?上的定积分（简称积分），记
作
?baf(x)dx，即?f(x)dx?I?lim?f(?i)?xi
a?→0i?1bn其中f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，?a,b?叫做积分区间．
如果f(x)在区间?a,b?上的定积分存在，则称函数f(x)在区间?a,b?上可积．
注：?f(x)dx与被积函数f(x)和积分区间?a,b?有关，而与积分变量用什么记号无关．
ab如
?baf(x)dx??f(t)dt??f(u)du
aabb定理：若函数f(x)在区间?a,b?上连续，则f(x)在?a,b?上可积；
定理：若函数f(x)在区间?a,b?上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在?a,b?上可积． 几何意义：当f(x)≥0，则
?baf(x)dx表示由曲线y?bf(x)，直线x?a，x?b，y?0所
围成的曲边梯形的面积A，即 ?af(x)dx?A
当f(x)≤0，?f(x)dx是个负值，它在几何上表示上述曲边梯形面积A的负值，即
ab?baf(x)dx??A
当f(x)的值既有正值也有负值，
?baf(x)dx在几何上表示图形中各部分面积的代数和．
图5-2
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高等数学同济七版第五章电子教案
