bcx1?x2??，x1?x2?aa易得另一根和k的值．再是根分析：根据韦达定理
据方程解的意义可知x＝2时方程成立，即把x＝2代入原方程，先求出k值，再
求出方程的另一根．但方法不如第一种．
解：设另一根为x2，则
k62?x2??，2?x2??55，
∴
x2??35，k＝－7． ?3即方程的另一根为5，k的值为－7．
注意：一元二次方程的两根之和为
?bca，两根之积为a．
2例9 利用根与系数的关系，求一元二次方程2x?3x?1?0两根的
(1)平方和；(2)倒数和．
1131?x1?x2??，x1?x2??22x2， x?x12，(2)x122分析：已知．要求(1)
11?22关键是把x1?x2、x1x2转化为含有x1?x2、x1?x2的式子．
因为两数和的平方，等于两数的平方和加上这两数积的2倍，即
(a?b)2?a2?b2?2ab，所以a2?b2?(a?b)2?2ab，由此可求出(1)．同样，可用
两数和与积表示两数的倒数和．
解：
31x1?x2??，x1?x2??22， (1)∵
222x?x?(x?x)?2x1x2 1212∴
?????3??1???2???2??2?
29?14 13?4； ?11x2?x1??xxx1x2 2(2)13?21?2 ?＝3．
注意：利用两根的和与积可求两根的平方和、倒数和，其关键是把平方和、
倒数和变成两根的和与积，其变形的方法主要运用乘法公式．
2例10 已知方程2x?4x?m?0的两根平方和是34，求m的值．
分析：已知
x1?x2??2，x1?x2?m2，x1?x22?342，求m就要在上面三个式子
22x?x和x?x1212来表示x1x2，m便可求出． 中设法用
解：设方程的两根为x1、x2，则
x1?x2??2，x1?x2?m2．
222x?x?(x?x)?2x1x2， 1212∵
2222xx?(x?x)?(x?x121212) ∴
?(?2)2?34
＝－30． ∵
∴m＝－30．
22x1x2?m2，
注意：解此题的关键是把式子x1?x2变成含x1?x2、x1x2的式子，从而求得
m的值．
例11 求一个一元二次方程，使它的两个根是2、10．
2分析：因为任何一元二次方程都可化为(二次项系数为1)x?px?q?0的形
式．如设其根为x1、x2，根据根与系数的关系，得x1?x2??p，x1?x2?q．将p、
22x?px?q?0xq的值代入方程中，即得所求方程?(x1?x2)x?x1?x2?0．
2x解：设所求的方程为?px?q?0．
∵2＋10＝－p，2×10＝q，
∴p＝－12，q＝20．
2∴所求的方程为x?12x?20?0．
注意：以x1、x2为根的一元二次方程不止一个，但一般只写出比较简单的一
个．
例12 已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数．
分析：把这两个数看作某个二次项系数为1的一元二次方程的两个根，则这个方程的一次项系数就应该是－8，常数项应该是9，有了这个方程，再求出
它的根，即是这两个数．
2解：设这两个数为x1、x2，以这两个数为根的一元二次方程为x?px?q?0．
∵x1?x2?8??p，x1?x2?q，
2∴方程为x?8x?9?0．
解这个方程得x1?4?7，x2?4?7，
∴这两个数为4?7和4?7．
例13 如图22-2-1，在长为32m，宽为20m的长方形地面上，修筑两条同样宽而且互相垂直的道路，余下的部分作为绿化用草地，要使草地的面积为
540m2，那么道路的宽度应是多少？
分析：设道路的宽度为x m，则两条道路的面积和为32x?20x?x．
题中的等量关系为：草地面积＋道路面积＝长方形面积．
解：设道路的宽度为x m，则
540?32x?20x?x2?32?20．
x2?52x?100?0，
2(x－2)(x－50)＝0， x－2＝0，x－50＝0， ∴x1?2，x2?50． ∵x＝50不合题意，
∴取x＝2．
答：道路的宽度为2m．
注意：两条道路重合了一部分，重合的面积为x2．因此计算两条道路的面积和时应减去重合面积x2．
例14 某钢铁厂去年1月份钢的产量为5000吨，3月份上升到7200吨，
求这两个月平均每月增长的百分率是多少？
分析：设平均每月增长的百分率为x，则增长一次后的产量为5000(1＋x)，
增长两次后的产量是5000(1?x)，…．增长n次后的产量b是
b?5000(1?x)n．
2这就是重要的增长率公式．
解：设平均每月增长的百分率为x．则
5000(1?x)2?7200，
(1?x)2?3625，
1?x??65，
∴x1?0.2，x2??2.2(不合题意，舍去)． 答：平均每月增长的百分率是20%．
注意：解方程时，由1＋x的值求x，并舍去负值．
【中考考点】
一元二次方程是初中代数的重要内容，因此，它是历年来各地中考的必考内容．可单独命题，也常与函数、四边形、圆等知识点综合在一起考查．
?x2?y?a?2?0 ①? ②的两个解为例15 (2003·济南市)已知方程组?x-y?1?0 ?x?x1?x?x2和??222x?x?3xx?8a?6a?11，x、x?y?y1?y?y2，121212且是两个不相等的实数，若
(1)求a的值；
(2)不解方程组判断方程组的两个解能否都为正数，为什么？
x1、x2是方程组中x的两个解，分析：故应首先消去y，得到关于x的方程．再
根据根的判别式及根与系数的关系可得解．
解：(1)由②得y＝x＋1，代入①整理， 得x?x?a?1?0．
∵方程有两个不相等的实数根，
2??(?1)?4(a?1)?0， ∴
2a??34．
222又∵x1?x2?1，x1?x2?a?1，代入x1?x2?3x1x2?8a?6a?11， 22(x?x)?5xx?8a?6a?11． 1212得
2整理，得8a?a?7?0．
解得而∴
a1?1，a2??34， 78．
78．
a??a??(2)∵
x1?x2?1?0，x1?x2?a?1?1?08，
∴x1?0，x2?0．
且y1?x1?1?0，y2?x2?1?0，
∴存在方程组的两个解都是正数．
注意：数学的转化思想，本题就是将方程组的问题转化为一元二次方程的问题．
2例16 (2003·深圳)已知一元二次方程2x?3x?6?0有两个实数根x1、x2，
直线l经过点A(x1?x2，0)，B(0，x1x2)，则直线l的解析式为( )
A．y＝2x－3 B．y＝2x＋3 C．y＝－2x＋3 D．y＝－2x－3
分析：本题重点考查一元二次方程根与系数的关系以及用待定系数法求直线的解析式，先求x1?x2与x1?x2的值，再求直线解析式．
3x1?x2?，x1?x2??32解：∵， ?3?A?， 0?∴?2?，B(0，－3)．
将A、B代入y＝kx＋b中，得
3??0?k?b2????3?0?b， ?k?2?∴?b??3．
∴直线l的解析式为y＝2x－3． 故选A．
【常见错误分析】
例17 已知关于x的方程mx?(2m?1)x?m?0有两个实数根，则m的取值
范围是__________．
错解：要使方程有两个实数根△≥0，
2[?(2m?1)]?4m?m?0， ∴
24m＋1≥0，
m??14． m??14．
∴m的取值范围是
华师大版一元二次方程的解法教案
