第七章 绘制误差椭圆、误差曲线的程序设计方法
168
§7-1 绘制误差椭圆的程序设计方法
测量平面控制网平差计算后进行精度评定时，点位中误差虽然可以用来评定待定点的点位精度，但是它却不能代表该点在某一任意方向上的位差大小。在有些情况下，往往需要确定点位在某些特殊方向上的位差大小；此外，还要了解点位在哪一个方向上的位差最大，在哪一个方向上的位差最小。例如，在工程放样中，就经常需要研究这个问题。为了便于求定待定点点位在任意方向上位差的大小，一般是通过求出待定点的点位误差椭圆来实现的。通过误差椭圆可以求得待定点在任意方向上的位差，这样就可以较精确地、形象而全面地反映待定点点位在各个方向上误差的分布情况。
为了确定任意两个待定点之间相对位置的某些精度，也需要作出两个待定点之间的相对误差椭圆。
无论是表示点位绝对位差的误差椭圆，还是表示两个待定点之间相对位置的某些精度的相对误差椭圆，在测量程序设计中所要面临的问题都是绘制椭圆，而这个椭圆一般情况下不是正立的。由于目前常用的几种编程语言（例如VB、VC）中没有现成的语句、命令、函数或方法来绘制倾斜任意角度的椭圆，因此，下面研究在计算机屏幕上绘制倾斜任意角度的椭圆的编程方法。
一、绘制误差椭圆的基本思路
以下讨论问题及编程中所使用的平面直角坐标系，设经过一段程序的控制，已将屏幕绘图区域的平面直角坐标系调整为测量平面直角坐标系（以下简称坐标系），即纵轴向上为X轴正向，横轴向右为Y轴正向。
绘制倾斜任意角度的误差椭圆时，已知数据如下： 椭圆的长半轴：E（也可用a表示） 椭圆的短半轴：F（也可用b表示）
椭圆中心点的在坐标系中的坐标：（X0,Y0）
椭圆长半轴在坐标系中的坐标方位角：T（T称为误差椭圆的主轴方向）
如图7-1所示，绘制倾斜任意角度的误差椭圆的基本思路是：首先，求出在坐标系中坐标方位角为T的椭圆长半轴与椭圆圆周的交点G的坐标；然后，再求出椭圆圆周上一系列点P(i)的坐标（设i?0时，P(0)点与G点重合；i?n时，P(n)点与G点重合）；最后，从G点开始用VB中画直线方法LINE（以下简称LINE）依次连接相邻点。
为了用LINE依次连接相邻点时所画出的直线趋近于椭圆曲线，需要使椭圆圆周上一系列点P(i)（将P(i)点称为误差椭圆圆周上细部点，简称P(i)点，下同）分布合理，即P(i)点与P(i?1)点之间的直线距离应足够小。鉴于计算机屏幕的分辨率，可控制在0.2ｍｍ内。
关于G点坐标的计算，应以椭圆中心点坐标（X0,Y0）作为起始坐标、以椭圆的长半轴E为距离、以T为坐标方位角、按坐标正算的方法进行计算，即：
?XG?X0?a?Cos(T) （7-1） ??YG?Y0?a?Sin(T)
168
椭圆长轴与椭圆圆周的另一个交点GA的坐标为： ??XGA?X0?a?Cos(T??) （7-2）
?YGA?Y0?a?Sin(T??)椭圆短轴与椭圆圆周的两个交点H、HA的坐标分别为：
??X?X?b?Cos(T?)H0??2 （7-3） ??Y?Y?b?Sin(T??)H0?2?3??X?X?b?Cos(T?)0??HA2 （7-4） ?3??Y?Y?b?Sin(T?)HA0?2?根据上述坐标，用LINE可画出椭圆的长轴及短轴。 以下重点介绍计算P(i)点坐标的方法。
二、计算P(i)点坐标的方法
1、坐标转换公式
如图7-1所示，设P点在坐标系XOY中的坐标为XP、YP，在坐标系EO?F中的坐标为EP、FP；O?点在坐标系XOY中的坐标为XO、YO；E轴正向在坐标系XOY中
的坐标方位角为T。则可以推证出如下坐标
互换公式： 图7-1 倾斜任意角度的误差椭圆
?XP?XO?EP?CosT?FP?SinT （7-5） ?Y?Y?E?SinT?F?CosTOPP?P?EP?(YP?YO)?SinT?(XP?XO)?CosT及： ? （7-6）
F?(Y?Y)?CosT?(X?X)?SinTPOPO?P2、计算P(i)点坐标的参数方程法
如图7-2所示，该法的基本思路是：先用椭圆的参数方程求解正立竖放椭圆上P(i)点坐标EP(i)、FP(i)；然后，使用坐标转换公式的（7-5）式计算P(i)点在坐标系XOY中的坐标XP(i)、YP(i)。
P(i)点在EO?F坐标系中的坐标EP(i)、FP(i)可用参数方程表示为：
168
?EP(i)?a?Cos(t) （7-7） ??FP(i)?b?Sin(t)参照图7-1，用P(i)代替P、EP(i)代替EP、FP(i)代替FP、XP(i)代替XP、YP(i)代替YP，将（7-7）式代入（7-5）式中，可得任一点P(i)在XOY坐标系中的坐标为：
?XP(i)?X0?(a?Cos(t))?Cos(T)?(b?Sin(t))?Sin(T) （7-8） ??YP(i)?Y0?(a?Cos(t))?Sin(T)?(b?Sin(t))?Cos(T)如图7-2所示，编程中，可设t?i?(DT)，其中
DT是椭圆圆周上有序（即有一定规律）分布的一系
列点中的任意相邻两点P(i)、P(i?1)和椭圆中心相连的直线的夹角，t应从O?G开始沿顺时针方向递增，即自E轴正向沿着顺时针方向至O?P(i)的水平夹角；
i是程序中的循环变量，i?0,1,2,??,n。
3、计算P(i)点坐标的直线点斜式方程法
如图7-2所示，该法的基本思路是：首先，求出 图7-2 正立竖放椭圆 椭圆圆周上一系列点P(i)到椭圆中心的距离D(i)；然后，直接用坐标正算公式求解P(i)点在坐标系XOY中坐标XP(i)、YP(i)。
设正立竖放椭圆中心O?点在EO?F坐标系中的坐标为(0，则过该点及椭圆圆周上任0)，一点P(i)的直线点斜式方程为：
FP(i)?m?EP(i) （7-9） 其中：
m?tg(i?DT) （7-10）
(7-10)式中的m为直线O?P(i)的斜率， i、DT的意义与前面相同。 在EO?F坐标系中的正立竖放椭圆的标准方程为：
(EP(i))2(FP(i))2??1 （7-11） 22ab将（7-9）式代入到（7-11）式，并顾及（7-10）式，可解得：
a2b2 (EP(i))?2 （7-12） 22b?a?tg(i?DT)2 168
则O?点至P(i)点的距离为：
D(i)?(EP(i))2?(FP(i))2
a2?b2a2?b22 （7-13） ??m?2b2?a2?m2b?a2?m2从式（7-13）可以看出，D(i)的计算与坐标系无关，也可以说与椭圆倾斜角度无关。 在图7-1与图7-2中，不论椭圆是正立竖放，还是倾斜任意角度的，D(i)是不变的。因此，P(i)点在坐标系XOY中的坐标按坐标正算公式可得：
??XP(i)?XO?D(i)?Cos(T?i?DT) （7-14）
?YP(i)?YO?D(i)?Sin(T?i?DT) 编程中，如图7-1所示，从G点开始依顺时针方向用LINE依次连接相邻点，最后，再回到G点，即可绘出所要求的误差椭圆。 4、计算P(i)点坐标的递推计算方法 该方法与计算P(i)点坐标的参数方程法基本相同，只是编程计算中采用了递推计算的方法计算Cos(t)和Sin(t)。详见后面的示例程序。
三、坐标轴的平移、旋转公式（即（7-5）式、（7-6）式的推导过程）
如图7-3所示，设P点在坐标系
?，YP?），O?点X?O?Y?中的坐标为（XP在坐标系XOY中的坐标为(XO，YO)；经 图7-3 坐标轴的平移、旋转
?，YP?）（XP（XP，YP）平移、旋转后，P点在坐标系XOY中的坐标为（XP，YP）。根据求
的公式如下：
XP?XO?A1P
?X0?O?P?Cos(???)
?XO?O?P?Cos??Cos??O?P?Sin??Sin?
??Cos??YP??Sin? ?XO?XPYP?YO?O?A1
?Y0?O?P?Sin(???)
?YO?O?P?Sin??Cos??O?P?Cos??Sin?
168
测绘程序设计教案VB版第七章
