凹凸函数之切线放缩
很多不等式的证明都涉及放缩法、构造法、拆分、引入增量，记得前不久看到泰勒展开，谈到超越函数（不等式）可以近似成多项式函数（不等式），其中就有一个特例，将超越函数利用导数的几何意义（切线）进行放缩，即变成g(x)?kx?b，或g(x)?kx?b（等号成立的条件恰好是切点时满足）。这里特例举几个题目来谈谈它的应用吧。 例1、f?x??3?x?0?a?3,n?N，已知数列满足，且满足,x?0,3a????nn21?xa1?a2?L?a2010?670，则f(a1)?f(a2)?L?f(a2010)( )
13A . 最大值6030 B . 最大值6027 C有最小值6027. D . 有最小值6030
1时，f(a1)?f(a2)?L?f(a2010)=6030 33?x1913?对于函数f(x)?,,在处的切线方程为即 (0?x?3)k?f()??x?y?(11?x)，21?x3163103?x312则f?x???(11?x)?(x?3)(x?)?0成立，
1?x21033?所以当0?an?3,n?N时，有f?an??(11?3an)
103f(a1)?f(a2)?L?f(a2010)??11?2010?3(a1?a2?L?a2010)??6030
10解析：A．Qf()?3，当a1?a2?L?a2010?例2、已知函数f(x)?9x(a?0) ． 1?ax21（1）求f(x)在[,2]上的最大值；
2（2）若直线y??x?2a为曲线y?f(x)的切线，求实数a的值；
?1?（3）当a?2时，设x1 ,x2,… ,x14??,2?，且x1 +x2+… +x14?14，若不等式
2??f(x1)+f(x2)+…+f(x14)??恒成立，求实数?的最小值．
9[1?(1?ax2)?x?2ax]9(1?ax2)?解析：（1）f?(x)?，
(1?ax2)2(1?ax2)2a1a1?2，解得?a?4． （负值舍去），由?a2a411811（ⅰ）当0?a?时，由x?[,2]，得f?(x)?0，?f(x)在[,2]上的最大值为f(2)?．
24a?14211181（ⅱ）当a?4时，由x?[,2]，得f?(x)?0，?f(x)在[,2]上的最大值为f()?．
22a?421aa1?x?2时，f?(x)?0， （ⅲ）当?a?4时，Q在?x?时，f?(x)?0，在2aa4a9a1f）=?f(x)在[,2]上的最大值为（．
a2a2令f?(x)?0，解得x??9[1?at]?f?(t)??1,??1，化简得（2）设切点为(t,f(t))，则? 由f?(t)??1，有22f(t)??t?2a.(1?at)?a2t4?7at2?10?0， 即at2?2或at2?5， …① 由f(t)??t?2a，有
29t?2a?t，…② 21?at534由①、②解得a?2或a?．
49x（3）当a?2时，f(x)?，由（2）的结论直线y?4?x为曲线y?f(x)的切线， 21?2x?点(2,f(2))在直线y?4?x上，根据图像分析，曲线y?f(x)在线y?4?x下方． Qf(2)?2，
1下面给出证明：当x?[,2]时，f(x)?4?x．
229x2x3?8x2?10x?4（2x?1）(x?2)Qf(x)?(4?x)??4?x??， 2221?2x1?2x1?2x1当x?[,2]时，f(x)?(4?x)?0，即f(x)?4?x．
2 ?f(x1)?f(x2)?L?f(x14)?4?14?(x1?x2?L?x14)，
Qx1?x2?L?x14?14，
?f(x1)?f(x2)?L?f(x14)?56?14?42．
?要使不等式f(x1)?f(x2)?L?f(x14)??恒成立，必须??42．
又Q当x1?x2?L?x14?1时，满足条件x1?x2?L?x14?14， 且f(x1)?f(x2)?L?f(x14)?42，因此，?的最小值为42． 例3、若xi?0,(i?1,2,3)，且
3?xi?1，则
i?111127++≤ 2221?x11?x21?x3102(3x2?1)?2x1
证明：设g(x)= ,则g′(x)= ，g′′(x)= ，
(1?x2)3(1?x2)21?x2
3333＜x＜，g′′(x)＞0得x＞或x＜- ， 33333331∵g(x)在R上连续，故g(x)= 在［- ，］上是上凸的，在区间(-∞，-)，
3331?x23311(，+∞)上是下凸的。由?xi?1，则平衡值x0= ，由导数知识易求得g(x) = 在 2
331?xi?1由g′′(x)＜0得-
333312711处的切线为y=（2-x）,因x0= ∈［- ，］，g(x) = 在［- ，］2
333335031?x
111272727上是上凸的，故g(x) = ≤（2-x）恒成立。即≤（2-x，≤（2-x2），1）
1?x12501?x221?x25050x=
311112727x?1≤（2-x，三式相加并结合即得++≤。 3）?i222
1?x32501?x1?x1?x10i?1132
若将该题条件改为：若xi?0,(i?1,2,3)，且此时平衡值x0=1，而g(x) =
?xi?13i?3时，解法同理。
311在x= 1处的切线为y=-x+1, 因x，+∞)，g(x) = 0= 1∈(31?x223111111在(，+∞)上是下凸的，故g(x) = ≥- x+1恒成立。即≥- x1+1，31?x121?x221?x21?x22231111113≥- x2+1，≥- x++≥。即得3+1三式相加并结合?xi?3即得222
1?x321?x1?x1?x222i?1132331113一个新的不等式：若xi>,i=1,2,3，且?xi?3，则++≥。 222
31?x1?x1?x2i?1132所以，在证明一类多元不等式时，我们经常用到的一个办法就是假设这些变元的和为1。 例4、若实数a,b,c，证明：
提示：不妨设a?b?c?1，则平衡点是x?abc3???。 b?ca?ca?b21x19x?1。f(x)?在x?的切线y?，有 31?x34f(x)?9x?1。 42225、若x,y,z非负，且x?y?z?1，证明：提示：平衡点是x?
xyz3??? 22241?x1?y1?z131333xy?x?f(x)?x?x?。f(x)?在的切线，有 2212212331?x?1?x(0?x?2)?练习1：已知函数f(x)??1?x2，
(x?2)??f(2)⑴求函数f(x)在定义域上的单调区间。
⑵若关于x的方程f(x)?a?0恰有两个不等的实根，求实数a的范围；
⑶已知实数x1,x2?[0,1]，x1?x2?1，若不等式f(x1)f(x2)?x?ln(x?p)在x?(p,??)上恒成立，求实数p的最小值。（可以利用切线求f(x1)f(x2)的最大值）
xyz3222???练习2：若x,y,z非负，且x?y?z?1，证明：
1?x21?y21?z24提示：平衡点是x?131333xy?x?f(x)?x?x?。f(x)?在的切线，有
212212331?x2切线放缩法实质就是利用函数的图像性质解决一类多元的问题向一元函数求最值和类型的不等
式转化。此时，可以选择先求二阶导看凹凸性，判断这个函数是否能使用切线法，或者能够被用得比较好。也可以直接选择求一阶导，把等号取道条件的切线值求出来，对应不等式常数项配最后的常数系数。其本质相当于求这个一元函数在等号取到条件时（也就是文中的平衡点）的切线值，进一步求对于这个一元函数相对应的某个局部不等式。
江苏省苏州外国语学校2017届高三高考数学复习之凹凸函数之切线放缩
