2011中考数学圆课件 蒋锐
知识点六、圆与圆的位置关系
重点：两个圆的五种位置关系中的等价条件及它们的运用． 难点：探索两个圆之间的五种关系的等价条件及应用它们解题． 外离：两圆没有公共点，一个圆上所有的点都在另一个圆的外部相离： 内含：两圆没有公共点，一个圆上所有的点都在另一个圆的内部 相切：
外切：两圆只有一个公共点，除公共点外一个圆上所有的点都在另一个圆的外部 内切：两圆只有一个公共点，除公共点外一个圆上所有的点都在另一个圆的内部 相交：两圆只有两个公共点。
设两圆的半径分别为r1、r2，圆心距（两圆圆心的距离）为d，则有两圆的位置关系，d与r1和r2之间的关系．
外离?d>r1+r2 外切?d=r1+r2
相交?│r1－r2│ 内含?0≤d<│r1－r2│（其中d=0，两圆同心） 例1．两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如图1所示（点O，O′是圆心），分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求∠TPN的大小． （1） (2) 解题思路：要求∠TPN，其实就是求∠OPO′的角度，很明显，∠POO′是正三角形，如图2所示． 解：∵PO=OO′=PO′ ∴△PO′O是一个等边三角形 ∴∠OPO′=60° 又∵TP与NP分别为两圆的切线，∴∠TPO=90°，∠NPO′=90° ∴∠TPN=360°－2×90°－60°=120° - 6 - 2011中考数学圆课件 蒋锐 例2．如图1所示，⊙O的半径为7cm，点A为⊙O外一点，OA=15cm， 求：（1）作⊙A与⊙O外切，并求⊙A的半径是多少？ OA (1) (2) (2）作⊙A与⊙O相内切，并求出此时⊙A的半径． 解题思路：（1）作⊙A和⊙O外切，就是作以A为圆心的圆与⊙O的圆心距d=rO+rA；（?2）?作OA与⊙O相内切，就是作以A为圆心的圆与⊙O的圆心距d=rA－rO． 解：如图2所示，（1）作法：以A为圆心，rA=15－7=8为半径作圆，则⊙A?的半径为8cm （2）作法：以A点为圆心，rA′=15+7=22为半径作圆，则⊙A的半径为22cm 例3．如图所示，点A坐标为（0，3），OA半径为1，点B在x轴上． （1）若点B坐标为（4，0），⊙B半径为3，试判断⊙A与⊙B位置关系； （2）若⊙B过M（－2，0）且与⊙A相切，求B点坐标． （1）AB=5>1+3，外离． （2）设B（x，0）x≠－2，则AB=9?x，⊙B半径为│x+2│， ①设⊙B与⊙A外切，则9?x=│x+2│+1， 当x>－2时，9?x=x+3，平方化简得：x=0符题意，∴B（0，0）， 当x<－2时，9?x=－x－1，化简得x=4>－2（舍）， ②设⊙B与⊙A内切，则9?x=│x+2│－1， 当x>－2时，9?x=x+1，得x=4>－2，∴B（4，0）， 当x<－2时，9?x=－x－3，得x=0， 2222222_ y_ A_ O_ x - 7 - 2011中考数学圆课件 蒋锐 知识点七、正多边形和圆 重点：讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、?边长之间的关系． 难点：使学生理解四者：正多边形半径、中心角、?弦心距、边长之间的关系．正多边形的中心：所有对称轴的交点； 正多边形的半径：正多边形外接圆的半径。 正多边形的边心距：正多边形内切圆的半径。 正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角。 正n边形的n条半径把正n边形分成n个全等的等腰三角形，每个等腰三角形又被相应的边心距分成两个全等的直角三角形。 例1．如图，已知正六边形ABCDEF，其外接圆的半径是a，?求正六边形的周长和面积． 解题思路：要求正六边形的周长，只要求AB的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA，过O点作OM⊥AB垂于M，在Rt△AOM?中便可求得AM，又应用垂径定理可求得AB的长．正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的． 解：如图所示，由于ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径． 因此，所求的正六边形的周长为6a 在Rt△OAM中，OA=a，AM= 利用勾股定理，可得边心距 1212 OM=a?(a)=223a 12[来源学科网] 360?6=60°，??△OBC E12DOAB=a FACMB ∴所求正六边形的面积=6××AB×OM=6××a×221132a= 323a2 例2．在直径为AB的半圆内，划出一块三角形区域，如图所示，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆圆周上，其它两边分别为6和8，现要建造一个内接于△ABC?的矩形水池DEFN，其中D、E在AB上，如图24－94的设计方案是使AC=8，BC=6． （1）求△ABC的边AB上的高h． - 8 - 2011中考数学圆课件 蒋锐 （2）设DN=x，且 h?DNh?NFAB，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？ （3）实际施工时，发现在AB上距B点1．85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为了保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树． CNhADGEB F 解题思路：要求矩形的面积最大，先要列出面积表达式，再考虑最值的求法，初中阶段，尤其现学的知识，应用配方法求最值．（3）的设计要有新意，?应用圆的对称性就能圆满解决此题． 解：（1）由AB·CG=AC·BC得h= （2）∵h= 则S =－ h?DNh10?NFABAC?BCAB?8?61010(4.8?x)4.8=4.8 且DN=x ∴NF= 251225x 12025四边形DEFN =x·251225x [（x－ 4.860（4.8－x）=－ 3600625x2+10x=－ 2512（x2－ x） 25）2－ ]=－ （x－2.4）2+12 ∵－ （x－2.4）2≤0 ∴－ 25x（x－2.4）2+12≤12 且当x=2.4时，取等号 ∴当x=2.4时，SDEFN最大． （3）当SDEFN最大时，x=2.4，此时，F为BC中点，在Rt△FEB中，EF=2.4，BF=3． ∴BE= DE?EF22?3?2.4=1.8 22 ∵BM=1.85，∴BM>EB，即大树必位于欲修建的水池边上，应重新设计方案． ∵当x=2.4时，DE=5 ∴AD=3.2， 由圆的对称性知满足条件的另一设计方案，如图所示: CGAFB DEwww.czsx.com.c此时，?AC=6，BC=8，AD=1.8，BE=3.2，这样设计既满足条件，又避开大树． - 9 - 2011中考数学圆课件 蒋锐 知识点八、弧长和扇形、圆锥侧面积面积 重点：n°的圆心角所对的弧长L=它们的应用． 难点：公式的应用． 1．n°的圆心角所对的弧长L= n?R180n?R180，扇形面积S扇= n?R3602、圆锥侧面积面积及其 n?R36022．圆心角为n°的扇形面积是S扇形= 3.全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的，所以全面积=?rL+r2． 例1．操作与证明：如图所示，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O处，并将纸板绕O点旋转，求证：正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a． 解题思路：如图所示，不妨设扇形纸板的两边与正方形的边AB、AD?分别交于点M、N，连结OA、OD． ∵四边形ABCD是正方形 ∴OA=OD，∠AOD=90°，∠MAO=∠NDO， 又∠MON=90°，∠AOM=∠DON ∴△AMO≌△DNO ∴AM=DN ∴AM+AN=DN+AN=AD=a 特别地，当点M与点A（点B）重合时，点N必与点D（点A）重合，此时AM+AN仍为定值a．故总有正方形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a． 例2．已知扇形的圆心角为120°，面积为300?cm2． （1）求扇形的弧长； （2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？ 解题思路：（1）由S 扇形= n?R3602求出R，再代入L= n?R180求得．（2）若将此扇形卷成 一个圆锥，?扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长，就可求圆的半径，其截面是一个以底是直径，?圆锥母线为腰的等腰三角形． [来源学。科。网Z。X。X。K] - 10 -
中考数学圆精讲（含答案）
