第五章 定积分
内容：定积分的概念和性质、微积分基本公式、换元积分法、分部积分法、广义积分。 要求：理解定积分的概念和性质。掌握牛顿－莱布尼兹公式、定积分的换元法和分部积分法，理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，理解广义积分的概念和计算方法。
重点：定积分的概念和性质；微积分基本公式；换元积分法、分部积分法。 难点：定积分的概念；变上限积分函数及其导数；换元积分法、分部积分法。
§1.定积分的概念
一、实例分析
1．曲边梯形的面积
设函数y?f(x)∈C[a, b], 且y?f(x)>0. 由曲线y?f(x),x?a,x?b,y?0围成的图形称为曲边梯形.
如何定义曲边梯形的面积 (1) 矩形面积=底高. (2) 预备一张细长条的纸, 其面积底高.
(3) 预备一张呈曲边梯形状的纸, 将其撕成许多细长条. (4) 启示:
将曲边梯形分割为许多细长条,
x=a x=b 分割得越细, 误差越小.
y=f (x)
a=x0 x1 xi-1 xi xn=b
第i个细长条面积?Si?f(?i)?xi曲边梯形面积: S?y=f (x) (??i?[xi?1,xi],?xi?xi?xi?1)
?f(?)?xii?1ni
定积分概念示意图.ppt定义: S?lim
(??max{?xi,i?1,2,?,n)
??0?f(?)?xii?1ni
抛开上述过程的几何意义，将其数学过程定义为定积分. 二、定积分的定义 1. 定义
设y?f(x)在[a, b]有定义, 且有界.
(1) 分割: 用分点a?x0?x1???xn?b把[a, b]分割成n个小区间:
[xi?1,xi],i?1,2,?,n记?xi?xi?xi?1,??max{?xi,i?1,2,?,n}(2) 取点: 在每个小区间[xi?1,xi]上任取一点(3) 求和:
i
, 做乘积: f(?i)?xi.
?f(?)?xii?1nni
(4) 取极限: lim??0?f(?)?xii?1i
b若极限存在, 则其为f(x)在[a, b]上的定积分, 记作:
?af(x)dx. 即:
?baf(x)dx?lim?f(?i)?xi
??0i?1n[a, b]: 积分区间；a：积分下限；b：积分上限；
?f(?)?xii?1ni积分和式.
问题: 定积分是极限值, 在求极限的过程中, 谁是常量, 谁是变量 注: (1) 关.
(2)
?i?1nf(?i)?xi与区间的分割法xi和取点法
i
有关; 而
?baf(x)dx与xi和
i
无
?baf(x)dx与a、b、f 有关，与x无关，即：
?2．定积分存在定理
baf(x)dx??f(t)dt??f(u)du??f(??)d??
aaabbb定理 若f(x)在[a, b]上有界且只有有限个间断点，则f(x)在[a, b]上可积. 推论 若f(x)在[a, b]上连续，则f(x)在[a, b]上可积.
例1. 求
?xdx
01解: f(x)?x在[0, 1]连续, 积分存在.
i
???x?xdx?lim?0?0ii?11ni与[0, 1]的分割法和
的取法无关. 选取特殊的分割法和取点法, 可使计算简便.
(1) 将[0, 1]n等分, xi?(2) 取点
ni
=?i?xi,i1,?xi? nnif(?i)?xi?2
nn(3) 求和
?i?1f(?i)?xi??i?1i1n(n?1)? 222nn(4) 取极限limf(?i)?xi?lim??0n(n?1)1? 2n??22n故
?10xdx?1 23. 定积分的几何意义
若f(x)在[a, b]上非负, 则若f(x)在[a, b]上非正, 则
??babf(x)dx=曲边梯形面积; f(x)dx=曲边梯形面积的负值; aS+ S- baS+ ?数和.
f(x)dx的几何意义是由曲线y?f(x),x?a,x?b,y?0围成曲边梯形面积的代
例2. ?101?xdx?2?2?;??sinxdx?0;?2?2badx?b?a.
高等数学第五章定积分总结
