（2）(ar)s?ars(a?0,r,s?R) （3）(ab)r?arbr(a?0,b?0,r?R)
注意：在化简过程中，偶数不能轻易约分；如[(1?2)]?1?2而应=2?1 （二）指数函数及其性质
1、指数函数的概念：一般地，函数y?ax 叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．即 a>0且a≠1 2、指数函数的图象和性质 0 共性 函数值开始增长较慢， 到了某一值后增长速度极快； 注意： 指数增长模型：y=N(1+p)x 指数型函数： y=kax 3 考点：（1）ab=N, 当b>0时，a,N在1的同侧；当b<0时，a,N在1的 异侧。 （2）指数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比较幂的大小， 同底找对应的指数函数，底数不同指数也不同插进1(=a0)进行传递或者利用（1）的知识。 （3）求指数型函数的定义域可将底数去掉只看指数的式子，值域求法用单调性。 （4）分辨不同底的指数函数图象利用a1=a，用x=1去截图象得到对应的底数。 (5)指数型函数：y=N(1+p)x 简写：y=kax 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果a?N ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作：x?logaN （ a— 底数， N— 真数，logaN— 对数式） 说明：1. 注意底数的限制，a>0且a≠1；2. 真数N>0 3. 注意对数的书写格式． 2、两个重要对数： （1）常用对数：以10为底的对数, log10N记为lgN ； （2）自然对数：以无理数e 为底的对数的对数 , logeN记为lnN． 3、对数式与指数式的互化 xx?logaN?ax?N 对数式 指数式 对数底数← a → 幂底数 对数← x → 指数 真数← N → 幂 结论：（1）负数和零没有对数 （2）logaa=1, loga1=0 特别地， lg10=1, lg1=0 , lne=1, ln1=0 (3) 对数恒等式：aa?N （二）对数的运算性质 如果 a > 0，a ? 1，M > 0， N > 0 有： 1、 log（?logaM?logaN 两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和 aM?N）logNM?logaM?logaN 两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差 N3 、logaMn?nlogaM 一个正数的n次方的对数等于这个正数的对数n倍 （n?R）2 、loga说明: 1) 简易语言表达:”积的对数=对数的和”…… 2) 有时可逆向运用公式 3) 真数的取值必须是(0,＋∞) 4) 特别注意：logaMN?logaM?logaN loga?M?N??logaM?logaN 注意：换底公式logab?logcblgb??a?0,a?1,c?0,c?1,b?0? logcalga利用换底公式推导下面的结论 ①logab?n1n ②logab?logbc?logcd?logad③logamb?logab mlogba（二）对数函数 1、对数函数的概念：函数y?logax (a>0，且a≠1) 叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 注意：（1） 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。 如：y?logax?1，y?logax?2 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． （2） 对数函数对底数的限制：a>0，且a≠1 2、对数函数的图像与性质：对数函数y?logax(a>0，且a≠1) 图像 0 ＜ a ＜ 1 y a ＞ 1 y 0 (1,0) x 0 (1,0) x 性质 定义域：（0，＋∞） 值域：R 过点(1 ,0), 即当x ＝1时,y＝0 在(0,+∞)上是减函数 当x>1时，y<0 当x=1时，y=0 当0 重要结论：在logb中，当a ,b 同在(0,1) 或(1,+∞)内时，有logb>0; aa当a,b不同在(0,1) 内，或不同在(1,+∞) 内时,有logb<0. a口诀：底真同大于0（底真不同小于0）. （其中，底指底数，真指真数，大于0指logb的值） a3、如图，底数 a对函数y?logax 的影响。 规律: 底大枝头低, 头低尾巴翘。 4考点： Ⅰ、logab, 当a,b在1的同侧时, logab >0；当a,b在1的异侧时, logab <0 Ⅱ、对数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比较对数的大 小，同底找对应的对数函数，底数不同真数也不同利用（1）的知识不能解决的插进1(=logaa)进行传递。 Ⅲ、求指数型函数的定义域要求真数>0，值域求法用单调性。 Ⅳ、分辨不同底的对数函数图象利用1=logaa ，用y=1去截图象得到对应的底数。 Ⅴ、y=ax(a>0且a ≠1) 与y=logax(a>0且a ≠1) 互为反函数，图象关于y=x对称。 5 比较两个幂的形式的数大小的方法: (1) 对于底数相同指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断. (2) 对于底数不同指数相同的两个幂的大小比较,可以利用比商法来判断. (3) 对于底数不同也指数不同的两个幂的大小比较,则应通过中间值来判断.常用1和0. 6 比较大小的方法 (1) 利用函数单调性(同底数)；(2) 利用中间值（如:0,1.）；(3) 变形后比较；(4) 作差比较 （三）幂函数 1、幂函数定义：一般地，形如y?x?的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数． 2、幂函数性质归纳． （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）α>0 时，幂函数的图象通过原点，并且在[0,+ ∞）上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸； （3）α<0 时，幂函数的图象在（0，+∞）上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴． 第三章 函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数y=f(x),使f(x)=0 的实数x叫做函数的零点。（实质上是函数y=f(x)与x轴交点的横坐标） 2、函数零点的意义：方程f(x)=0 有实数根?函数y=f(x)的图象与x轴有交点?函数y=f(x)有零点 3、零点定理：函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的，并且有f(a)f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间（a,b）至少有一个零点c，使得f( c)=0,此时c也是方程 f(x)=0 的根。 4、函数零点的求法：求函数y=f(x)的零点： （1） （代数法）求方程f(x)=0 的实数根； （2） （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 5、二次函数的零点：二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)． 1）△＞0，方程f(x)=0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点． 2）△＝0，方程f(x)=0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点． 3）△＜0，方程f(x)=0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点． 二、二分法 1、概念：对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法。 2、用二分法求方程近似解的步骤: ⑴确定区间[a,b],验证f(a)f(b)<0，给定精确度ε； ⑵求区间(a,b)的中点c;⑶计算f(c), ①若f(c)=0,则c就是函数的零点； ②若f(a)f(c)<0,则令b=c（此时零点x0∈(a,c)） ③若f(c)f(b)<0,则令a=c（此时零点x0∈(c,b)） (4)判断是否达到精确度ε：即若|a-b|<ε,则得到零点近似值为a(或b);否则重复⑵~⑷ 三、函数的应用： （1）评价模型： 给定模型利用学过的知识解模型验证是否符合实际情况。 （2）几个增长函数模型：一次函数：y=ax+b(a>0) 指数函数：y=ax(a>1) 指数型函数： y=kax(k>0,a>1) 幂函数： y=xn（ n?N*) 对数函数：y=logax(a>1) 二次函数：y=ax2+bx+c(a>0) 增长快慢：V(ax)>V(xn)>V(logax) 解不等式 (1) log2x< 2x < x2 (2) log2x< x2 < 2x （3）分段函数的应用：注意端点不能重复取，求函数值先判断自变量所在的区间。 （4）二次函数模型： y=ax2+bx+c(a≠0) 先求函数的定义域，在求函数的对称轴，看它在不在定义域内，在的话代进求出最值，不在的话，将定义域内离对称轴最近的点代进求最值。 （5）数学建模： (6)一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布 两个根都在（m,n )内 y 两个有且仅有一个在（m,n)内 x1∈(m,n) x2∈(p,q) m m x n n m n p q ???0?b?m???n?2a??f(m)?0???f(n)?0 f(m)f(n)<0 ?f(m)?0?f(n)?0???f(p)?0??f(q)?0 两个根都小于K 两个根都大于K 一个根小于K，一个根大于K y k k x k ???0?b???k??2a??f(k)?0???0?b???k??2a??f(k)?0f(k)<0
新课标人教A版高一数学必修知识点总结
