*谈巧用一次函数的平均值
—’11备考综合热身辅导系列
高级物理教师 魏德田
在中学物理中，一次函数y=kx+b或y=kx等获得了极其广泛的应用。利用一次函数，我们不但能正确的表达诸如由时间决定的变力，弹簧类物体的弹力，线性变化的感应电动势，静液体的压强，共轴转动物体的各点的线速度等等一般的物理规律，更重要的是，我们还可以利用一次函数在定义区间x1~x2内的平均值y??
y1?y2，来分析和解决许多比较复杂2乃至极其困难的物理问题，从而删繁就简，化难为易，收到良好的教学效果。
下面，我们试从三个方面展开讨论。
一、关于线性变力的做功问题
这里所谓线性变力，是一种方向沿同一直线而大小随位移均匀变化的力，亦即大小与位移成正比而方向相反的变力，其表达式为F=－kx+b或F=－kx。反映在数学中，这种变力是位移的一次函数。对解决这种变力做功的问题，使许多初学者感到困惑不解或十分棘手。但是，从另一个角度着眼，若利用这种函数在0~x位移内的平均值即 F?(F0?Fx)2，可把它作为恒力来对待，使这类问题得以顺利解决。
[例题1]如图1所示，把质量为m、底面积为s的木块，放入密度为ρ的水内的o点即木块下底面在水下h0深度处时，由于恰好受力平衡而静止。现用力下按使其竖直向下移动Xm至o′点,然后释放。求木块由o′点返回到o点时的瞬时速度。
[解析]分析表明，木块在浮力N、重力G共同作用下做简谐运动。选竖直向下为X轴的坐标正方向，以O点为坐标原点。考虑到浮力遵守阿基米德定律，可得N=ρgSh,其中h为木块没入的深度。从而，可得木块所受的合力为
_F?mg??gs〈h0?x〉----------①
其中x为木块在任意位置偏离O点的位移。
依题意，当木块在O点时，
F0?mg??gsh0?0------------②
再把②式代入①式，我们又得 F???gsx 由此可见，木块在此线性变力作用下做简谐运动。
不难求出合力F在0—Xm区间上的平均值为
F????gs?m2--------------------③
设由o′点返回到O点时的瞬时速度为V，根据动能定理可得
mv2F〈·??m〉?----------------④
2?最后，由③、④式即可求出 v??gs·?m。 m[点拨]应该指出，当线性变力F=kx与另一恒力〈如此例之重力〉共同作用于一个物体时，其合力也是线性的，从而形成F=kx+b形式的线性变力，其平均值的表达式与前者亦有所不同。并且，这一点对于以时间为自变量的一次函数也是如此。
[例题2]如图2所示，一根轻质弹簧竖直站立、下端固定在水平支持面上，恰好在弹簧的正上方高度为h的A点，有一质量为m的物体由静止自由下落。当物体弹簧上端的O点时，弹簧开始被压缩，而当它到达B点时，物体的速度为零。试求：
⑴物体位移多大时达到最大速度？最大速度为多少？ ⑵弹簧的最大压缩量？
[解析]首先，分析可知物体在竖直向下的重力、竖直
向上的弹力等共同作用下，做先加速、后减速最后静止的 变加速运动。
选竖直向下为X轴正方向，以O点为坐标原点。由牛二定律，可得
mg?kx?ma.
其中F??kx为弹簧的弹力。
然后，设物体自A点下落至C点时加速度为零，亦即物体达到最大速 度vm；又设OC=x1，亦即mg－kx1 =0。于是，可得 x1?mg----------------①. k显然，重力、弹力的合力在位移x内的平均值为
?kxF?mg?------------②
2从而，由动能定理,我们不难得到
mv2x1? mgh?F·------③
2?由①、②和③式，即可解得
kx vm?2g〈h?x1〉?1.
m最后，依题意知物体自A点下落到B点时速度为零，再设弹簧的最大压缩量即OB=x2，我们由动能定理又得
22kx〈mgx2?2〉?0 mgh?2显然，上式是关于x2的一元二次方程。从而，又可解得
mg?m2g2?2kmgh x2?
k由于mg+2kmgh＞mg，因而当根式前为“—”号时，x2＜0，舍去负解。从而，我们最后得到
22
22
mg?mg2?2kmgh x2?k2mgmg 。我们再与x1?比较，可知x2＞2x1. kk亦即线段BC＞OC,，点C不是线段OB的中点；若h比较大，则BC段比OC段要大的
显然，x2＞多。
图3表示出合力随位移变化的大致情形，“阴影”的面积则为合力在相应位移内所做的功。 [点拨]由此例解析可见，我们虽然先、后在AC和AB两段位移上都利用动能定理解决问题，但由于前者与后者的位移不同，使得同一合力的平均值显然不同；从做功角度看，造成BC＞OC的原因，显然是在AC一段位移上，重力做了比在BC段更多的正功。还应指出，若使上式中h=0，可知物体由O到B恰好完成简谐运动的半个全振动，此时C点才是OB线段的中点，同时也是振动的平衡位置。
二、关于线性变力冲量的问题
这里所谓线性变力，是另一种方向沿同一直线而大小随时间均匀变化的力，其表达式为F=kt+b或F=kt。反映于数学中，这种线性变力是时间的一次函数。类似地，若能利用线性变力在时间0~ t内的平均值即F??F0?Ft，则也可把它作为恒力来对待，使求变力的冲量2问题得以圆满解决。
[例题3]洒水车在洒水过程中，由于水流速度、喷水口面积等在比较长的时间内，可以认为保持不变，即单位时间内流出的水的质量相等。因而，洒水车的质量是时间的一次函数，可以写作m=m0－kt。其中m0为初始质量，k为质量对时间的变化率，t为洒水的时间。现设洒水车的初速度为v0，初始质量为m0，经过t的时间，车速增加为vt；再设它的牵引力F恒定不变，与路面的摩擦因数为μ。试求：洒水车在时间t内损失的动量。
[解析]首先，分析可知洒水车在水平方向的牵引力和滑动摩擦力等作用下做加速度逐渐增大的加速运动。
显然，由于所受合力不为零，动量守恒定律不适用。但是我们可以先用合力的平均值求出合力的冲量，再利用动量定理即可求出动量的损失。然后，依题意，可知其合力为
F合?F??mg?F???m0?kt?g
合力随时间变化的情形如图4中直线AB所示，“阴影”
的面积则表示了合力的冲量。在时间t内合力的平均值为
F??F0?Ft?gkt?F??m0g?------① 22设洒水过程中损失的动量为?p，由动量定理得
F·t?〈mvt??p〉?mv0-------------②
由①、②式，可以解得
_?p?Ft??m0gt??gkt22?m0v0?〈m0?kt〉vt.
[点拨]解答此题的关键有二：一则先用线性变力——合力对时间的平均值，求出合力的
冲量；进而，再利用动量定理去求动量的变化。二则在全过程的动量变化之中，不但有末、初动量之差，同时必须包括流出的水带走的动量，亦即题目所求的损失的动量。
[例题4]在一根上端固定的细绳下端悬挂质量为m的物体，使得物体恰好与平整的竖直墙壁相接触。再以水平力N=kt〈k为恒量，t为时间〉作用于物体上，如图5所示。当水平力开始作用的同时，用火烧断细绳，物体即沿竖直墙壁向下运动而最终趋于静止。设物体与墙壁之间的摩擦因数为μ，试计算物体沿墙壁运动的最大速度和总时间。
[解析]首先，分析可知物体在竖直向下的重力、竖直向上的滑动摩擦力等的共同作用下做先加速、后减速最终趋于静止的变加速运动。
然后，选竖直向下为F轴坐标正方向，设物体运动的最大速度为v1。由牛二定律得
a?g?的时间
?ktm，在加速度a=0零时，可求出物体达到最大速度
t1?mg -------------① ?k由于物体所受合力为F=mg-f=mg-μkt,它在时 间t1内的平均值则可表示为 F1_?mg??kt12------②
接下来， 在t1这段时间内，由动量定理可得
F1 ·t1?mv1----------③
再联立①、②和③式，从而，我们即可求出最大速度
_mg2 v1?
2?k同理，设运动的总时间为t2，由动量定理又得
F2·t2=0
_F/N F0
O t1 t2 t/s 〈mg?亦即
?kt22〉·t2=0
F1 图6 最后,我们求出运动的总时间
t2?2mg ?k图6向右下倾斜的直线表示出合力随时间变化的大致情形，“阴影”的面积则为合力在相应时间内的冲量。
[点拨]若不采用合力对于时间的平均值，由于在高中物理中不能直接计算变力的冲量，此类问题就难以解决。需要强调，这里所谓线性变力对时间的平均值，是所设变力针对某一段时间的平均值；时间不同，则同一变力的平均值亦不同。这一点，从以上两例解答过程中，略见一斑。
三、线性长度导致的感应电动势问题
饶有趣味的是，电磁感应现象中也有一类随位移或时间均匀变化的感应电动势问题，即感应电动势E是位移s或时间t的一次函数。类似地，我们也可以利用求其平均值的方法去分析和解决。
[例题5]如图7所示，两条平行的虚线M、N之间存在着垂直纸面向内、磁感应强度为B的匀强磁场。在磁场的左侧另有一个等腰梯形线框ABCD，已知它的AB边的长度d，底角α，且总电阻为R。现使线框自左至右以速度v匀速进入磁场，自AB边进入直到CD边与磁场左边界M重合为止，所用的时间为t，那么求在此过程中通过线框某一横截面的电量。
[解析]分析可知，在题设过程中梯形线框切割部分的有效长度为 L?d?2vtcot?
由电磁感应规律得线框中的感应电动势
E?Bv〈d?2vtcot?〉显见，它是时间的一次函数。
然后，该电动势在时间0-t内的平均值
?2M N
C A α v B E?Bvd?Bvtcot? D 最后由欧姆定律求出通过线框某一横截面的电量 B 图7 q?EBvdt?Bvtcot?·t?. RR_22[点拨]解决此题的关键在于，先求出线框匀速进入磁场时切割磁感线的有效长度L，再
由感应电动势的瞬时表达式求出其在时间0~t内的平均值；然后，作为恒定的感应电动势结合欧姆定律等处理。
综上所述，可知若能巧妙的利用一次函数的平均值，的确可以解决中学物理中一大类物理问题。它不仅可以大幅度提高中学生分析和解决物理问题的能力、利用数学知识解决物理问题的能力， 而且对于培养求异思维、巧妙思维和创新思维能力，进而大面积提高中学物理的教学质量都有十分重要的意义。
谈巧用一次函数的平均值
