与圆有关的知识
一、圆的有关概念及性质考点一
圆的有关概念、垂径定理
1.圆的有关概念
（1）三角形的外接圆：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆外接圆的圆心是三角形
的交点，叫做三角形的
心
.内切圆的圆心是三角
.三角形
（2）三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆，叫三角形的内切圆形
2.垂径定理
（1）圆是轴对称图形，
的交点，叫做三角形的
心.
的直线都是它的对称轴，有无数条对称轴，圆既是中心
.
是对称中心
）
对称图形，又是旋转对称图形，即旋转任意角度都和自身重合（2）垂径定理：a.垂直于弦的直径
这条弦，且平分弦所对的两条弧b.平分弦（
.如图：
的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
CD
AB
CD是直径AM
BM
AMBM，ACBC,ADBD
CD是直径
CDAB,ACBC,ADBD
3.圆心角、弧、弦之间的关系
（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦
（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别考点二
圆周角与圆内接四边形
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1.圆周角和圆心角的关系
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的的圆周角2.圆内接四边形
圆内接四边形对角互补.
；直径所对的圆周角是
，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对
，90°的圆周角所对的弦是
例1如图，某花园小区一圆形管道破裂，修理工准备更换一段新管道，现在量得污水水面
20cm，则修理工应准备内直径是 cm
的管道
宽度为80cm，水面到管道顶部的距离为例2（2017内蒙古包头）如图，点则∠ACB=
度.
A、B、C为⊙O上的三个点，∠B0C=2∠A0B，∠BAC=40°，
例3（2014湖南衡阳）如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ACD=25°，则∠BAD的度数为
例1 例2 例3
二、与圆有关的位置关系及有关计算考点一
与圆有关的位置关系
1.点与圆的位置关系，如图
点A
（2）点在圆上（3）点在圆内
（1）点在圆外
d=r，如点B d r，如点C.
d r，如（d为点到圆心的距离，r为⊙0的半径）
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2.直线与圆的位置关系（1）直线和圆相交（2）直线和圆（3）直线和圆
d
（d为圆心到直线的距离，r为圆的半径）3.切线的判定和性质
（1）切线的判定：到圆心距离直径的直线是圆的切线. （2）切线的性质：圆的切线
于经过切点的直径.
半径的直线是圆的切线.经过直径外端并且
于这条
例1（2017辽宁沈阳）如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙0交AC于点E，过点E作EF⊥AB于点F，延长EF交CB的延长线于点G，且∠ABG=2∠C.
（1）求证：EF是⊙0的切线；（2）若sin∠EGC=，⊙O的半径是3，求AF的长
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例2（2015宁夏）如图，AC是⊙0的直径，BC是⊙0的弦，点P是⊙0外一点，连接PB、AB，∠PBA=∠C.（1）求证：PB是⊙0的切线；
（2）连接0P，若OP//BC，且OP=8，⊙0的半径为22，求BC的长
考点二与圆有关的计算
（R为圆的半径，n是弧所对的圆心角的度数，或S=
l为扇形的弧长）
1.弧长计算：弧长l= 2.扇形的面积：S=弧长）
（R为圆的半径，n是弧所对的圆心角的度数，l为扇形的
3.圆锥：圆锥的侧面展开图是一个扇形.圆锥的母线长等于
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圆锥的侧面积=
12
l2r
lr（l为母线，为底面圆的半径）.
圆锥的全面积=侧面积+底面圆面积.
注意：圆锥可以看成由一个直角三角形绕一条直角边所在直线旋转而成的图形，其中斜边是母线，一条直角边是圆锥的高，另一条直角边是底面圆半径
扇形半径.圆锥底面圆的周长为扇形的弧长. 例3（2015内蒙古包头）
如图，在△ABC中，AB=5,AC=3,BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转
）
30°后得到△ADE，点B经过的路径为BD，则图中阴影部分的面积为（
A.
2512
B.
43
C.
34
D.
512
例4（2018河北）如图，点A在数轴上对应的数为26，以原点O为圆心，OA为半径作优弧使点B在O右下方，且tan∠AOB=，在优弧
，
上任取一点P，且能过P作直线l∥OB交数
轴于点Q，设Q在数轴上对应的数为x，连接OP．（1）若优弧
上一段
的长为13π，求∠AOP的度数及x的值；
（2）求x的最小值，并指出此时直线l与所在圆的位置关系；
（3）若线段PQ的长为12.5，直接写出这时x的值．
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中考一轮复习--与圆有关的知识导学案
