山羊吃草数学建模

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题目： 山羊吃草问题

【摘 要】

山羊吃草问题对于牧区人民放牧时，对放牧羊，牛群的放牧数量和放牧区域的选择提供了参考，有利于合理利用牧场资源，追求利益最大化。针对本题，以下解决方案：

问题一分为两个子问题，即分析池塘有无围栏情况下山羊的吃草面积，在无围栏的情况下，可直接根据已知条件利用定积分的相关知识求得；在有围栏的情况下，限定绳长ka??a，利用微元法对不规则的区域进行分割，近似，求和求得。

问题二是对问题一的补充，在第一问的前提下求得所需的绳长。

问题三要求对五只羊可活动的围进行比较，通过对绳长和区域半径的比较，利用圆面积计算公式、旋转曲面积分计算公式以及环形面积计算公式分别求得五只羊可活动围的面积大小，然后分情况逐个比较每只羊可活动围面积大小，最后进行排序。

问题四，仍设绳长为ka，限定绳长ka??a，假设山羊间放牧面积不能重叠，讨论绳长与池塘半径a的大小关系，列举1-4只羊放牧面积的比较，得出一般性结论，对于绳长ka不同取值，得到可最大放牧羊只数和对应到最大放牧面积。

关键词：积分，旋转曲面积分，微元法

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目录

一、问题重述............................................................................................................. 3 二、问题分析............................................................................................................. 4 三、基本假设............................................................................................................. 4 四、符号说明............................................................................................................. 5 五、模型建立与求解 .................................................................................................. 5 5.1一只羊放牧面积模型 ......................................................................................... 5 5.2两只山羊放牧面积模型 .................................................................................... 10 5.3比较不同区域的羊的活动围大小 ...................................................................... 10 5.4放牧规划问题 .................................................................................................. 12 六、模型评价............................................................................................................ 13 6.1模型的优点 ...................................................................................................... 13 6.2模型的缺点 ...................................................................................................... 13 七、参考文献............................................................................................................ 13 八、附录 ................................................................................................................... 13

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一、问题重述

请根据题意解决下列问题：

1、一只老山羊被栓在了一个半径为a的圆形池塘的边缘上，它的绳长度为

ka。试计算山羊可吃草的围（ 例如图1的阴影部分）。假设池塘周围有围栏绕着，绳子不可越过围栏（见图2），试计算此时山羊可吃草的围。

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