二次根式
【知识回顾】
1.二次根式：式子a（a≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：
⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式：
二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质：
a（a＞0）
0 （a=0）；
（1）（a）=a （a≥0）； （2）a2?a?
2
?a（a＜0）
5.二次根式的运算：
（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，?变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．
（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．
ab=a·b（a≥0，b≥0）；
bb（b≥0，a>0）． ?aa（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．
【典型例题】
1、概念与性质
例1下列各式1）11,2)?5,3)?x2?2,4)4,5)(?)2,6)1?a,7)a2?2a?1， 53其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、求下列二次根式中字母的取值范围
x?5?（1）
13?x；（2）
(x-2)2
例3、 在根式1)
a2?b2;2)x;3)x2?xy;4)27abc，最简二次根式是（ ） 5A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4)
1xyy?1?8x?8x?1?,求代数式??2?2yx例4、已知：
2xy??2的值。yx
例5、 （2009龙岩）已知数a，b，若(a?b)=b－a，则 ( )
A. a>b B. a
例1. 将根号外的a移到根号内，得 ( )
A. ； B. －； C. －； D.
例2. 把（a－b）1－a－b 化成最简二次根式
例3、计算：
例4、先化简，再求值：
5?15?111b??，其中a=，b=．
22a?bba(a?b)
例5、如图，实数a、b在数轴上的位置，化简 ：a2?b2?(a?b)2
4、比较数值 （1）、根式变形法
当a?0,b?0时，①如果a?b，则a?b；②如果a?b，则a?b。
例1、比较35与53的大小。 （2）、平方法
当a?0,b?0时，①如果a?b，则a?b；②如果a?b，则a?b。
2222例2、比较32与23的大小。 （3）、分母有理化法
通过分母有理化，利用分子的大小来比较。
例3、比较21与的大小。 3?12?1（4）、分子有理化法
通过分子有理化，利用分母的大小来比较。 例4、比较15?14与14?13的大小。
（5）、倒数法
例5、比较7?6与6?5的大小。 （6）、媒介传递法
适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。 例6、比较7?3与87?3的大小。 （7）、作差比较法
在对两数比较大小时，经常运用如下性质： ①a?b?0?a?b；②a?b?0?a?b
例7、比较2?12与的大小。 3?13（8）、求商比较法
它运用如下性质：当a>0，b>0时，则： ①
ab?1?a?b； ②
ab?1?a?b
例8、比较5?3与2?3的大小。 5、规律性问题
例1. 观察下列各式及其验证过程：
， 验证：；
验证:
.
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想44的变形结果，并进行验证； 15（2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n≥2，且n是整数)表示的等式，并给出验证过程.
例2. 已知，则a_________
发展：已知，则a______。
例4、已知a>b>0，a+b=6ab，则a?b的值为（ ）
a?bA．
21 B．2 C．2 D． 22时，分别作了如下变形：
例5、甲、乙两个同学化简
甲：==；
乙：=。 其中，（ ）。
A. 甲、乙都正确 B. 甲、乙都不正确 C. 只有甲正确 D. 只有乙正确
【基础训练】
1．化简：（1）72?__ __；（2）252?242?___ __ （3）6?12?18?___ _；
0（4）75x3y2(x?0,y?0)?___ _； （5）2?4?_______。
2.)化简??4?2=_________。
3.计算4的结果是
Ａ.2 Ｂ．±2 Ｃ．-2 Ｄ．4
4. 化简：（1）（08，泰安）9的结果是 ；（2）12?3的结果是 ；
（3）52?8= （4））5x-2x=_____ _；
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