高考总复习 数学理科B
第1讲 集合及其运算
最新考纲 1.了解集合的含义、元素与集合的属于关系；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；5.能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算．
知 识 梳 理
1．元素与集合
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或?表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． 2．集合间的基本关系
表示 关系 相等 集合间的 基本关系 真子集 空集 3.集合的基本运算 图形语言 集合的并集 集合的交集 集合的补集 子集 文字语言 集合A与集合B中的所有元素都相同 集合A中任意一个元素均为集合B中的元素 集合A中任意一个元素均为集合B中的元素，且集合B中至少有一个元素不是集合A中的元素 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 AB 符号语言 A＝B A?B 符号语言 A∪B＝ {x|x∈A，或x∈B} A∩B＝ {x|x∈A，且x∈B} ?UA＝ {x|x∈U，且x?A} 4.集合的运算性质 并集的性质：
A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A. 交集的性质：
A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B. 补集的性质：
A∪(?UA)＝U；A∩(?UA)＝?；?U(?UA)＝A.
诊 断 自 测
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)
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(1)若A＝{x|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝x2}，C＝{y|y＝x2}，则A＝B＝C.(×) (2)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.(×)
1
(3)已知集合A＝{x|mx＝1}，B＝{1,2}，且A?B，则实数m＝1或m＝2.(×) (4)含有n个元素的集合的子集个数是2n，真子集个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2.(√)
2．(2014·新课标全国Ⅰ卷)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，则A∩B＝( ) A．[－2，－1] C．[－1,1]
B．[－1,2) D．[1,2)
解析 由不等式x2－2x－3≥0解得x≥3或x≤－1，因此集合A＝{x|x≤－1或x≥3}，又集合B＝{x|－2≤x＜2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤－1}，故选A. 答案 A
3．已知集合A＝{(x，y)|x，y∈R，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B的元素个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析 集合A表示的是圆心在原点的单位圆，集合B表示的是直线y＝x，据此画出图象，可得图象有两个交点，即A∩B的元素个数为2. 答案 C
4．(人教B必修1P19练习B2改编)已知集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，则(?RA)∩B＝________.
解析 ∵?RA＝{x|x＜3或x≥7}， ∴(?RA)∩B＝{x|2＜x＜3或7≤x＜10}． 答案 {x|2＜x＜3或7≤x＜10}
5．设集合A＝{x|x2＋2x－3>0}，集合B＝{x|x2－2ax－1≤0，a>0}．若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是________． 解析 A＝{x|x2＋2x－3>0}＝{x|x>1或x<－3}， 因为函数y＝f(x)＝x2－2ax－1的对称轴为x＝a>0， 且f(0)＝－1<0，
根据对称性可知要使A∩B中恰含有一个整数， 则这个整数为2，所以有f(2)≤0且f(3)>0， ??4－4a－1≤0，即???9－6a－1>0，?34?答案 ?4，3?
??
考点一 集合的含义
3
a≥??4，所以?4
a
34
即4≤a<3.
【例1】 (1)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝( ) A．4 B．2 C．0 D．0或4
??b
(2)已知a∈R，b∈R，若?a，a，1?＝{a2，a＋b,0}，则a2 016＋b2 016＝________.
?
?
解析 (1)由ax2＋ax＋1＝0只有一个实数解，可得当a＝0时，方程无实数解；当a≠0时，则Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4(a＝0不合题意舍去)．
b
(2)由已知得a＝0及a≠0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2 016＋b2 016＝1. 答案 (1)A (2)1
规律方法 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合．(2)集合中元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．
【训练1】 (1)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )
A．1 B．3 C．5
D．9
(2)已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________． 解析 (1)∵x－y＝{－2，－1,0,1,2}，∴其元素个数为5.
3
(2)由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－2，当m＝1时，m＋2＝33
且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m＝－2时，m＋213＝2，而2m2＋m＝3，故m＝－2. 3
答案 (1)C (2)－2 考点二 集合间的基本关系
【例2】 (1)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1 实数m的取值范围为__________． (2)设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}，若(?UA)∩B＝?，则m＝__________. 解析 (1)当B＝?时，有m＋1≥2m－1，则m≤2. 当B≠?时，若B?A，如图． 深度思考 ①你会用这些结论吗？ A∪B＝A?B?A， A∩B＝A?A?B， (?UA)∩B＝?? B?A； ②你考虑到空集了吗？ ?m＋1≥－2，则?2m－1≤7，?m＋1<2m－1， 解得2 综上，m的取值范围是(－∞，4]． (2)A＝{－2，－1}，由(?UA)∩B＝?，得B?A， ∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，∴B≠?.∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}． ①若B＝{－1}，则m＝1； ②若B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立， ∴B≠{－2}； ③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)·(－2)＝2，由这两式得m＝2. 经检验知m＝1和m＝2符合条件．∴m＝1或2.
高三总复习第一二章知识点
