核心考点解读——数系的扩充与复数的引入
复数的有关概念（II） 复数的代数表示法及几何意义（I） 复数的四则运算（II） 1.从考查题型来看，涉及本知识点的题目主要在选择题、填空题中，考查复数的概 念、模、几何意义及复数代数形式的四则运算. 2.从考查内容来看，主要考查复数的几何意义的理解，复数的模的表示以及复数代数形式的四则运算. 3.从考查热点来看，复数代数形式的四则运算是高考命题的热点，以复数的四则运算法则为依据，对复数的加、减、乘、除进行求值计算. 1.数系的扩充 数系的扩充：自然数集N，整数集Z，有理数集Q，实数集R，复数集C，其从属关系用集合来表示为N2.复数的有关概念 (1)复数的表示：z1?a?bi(a,b?R)，a：复数的实部；b：复数的虚部；i：虚数单位，规定：i??1. (2)复数的分类：若b?0，则复数为实数；若b?0，则复数为虚数；若a?0,b?0，则复数为纯虚数. (3)复数相等：若a?bi?c?di(a,b,c,d?R)，则a?c,b?d. (4)共轭复数：若z1?a?bi(a,b?R)与z2?c?di(c,d?R)互为共轭复数，则2ZQRC. a?c,b??d.记作z2?z1. (5)复数的模：若z1?a?bi(a,b?R)，则复数的模为z?a?bi?a2?b2. (6)复数的几何意义：z1?a?bi(a,b?R)与复平面上的点Z(a,b)一一对应；与向量OZ?(a,b)一一对应. 3.复数代数形式的四则运算 (1)设z1?a?bi(a,b?R)，z2?c?di(c,d?R)，则 z1?z2?(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i，
z1?z2?(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i， z1?z2?(a?bi)?(c?di)?(ac?bd)?(ad?bc)i， z1a?bi(a?bi)(c?di)ac?bd?(bc?ad)i???. z2c?di(c?di)(c?di)c2?d2(2)复数代数形式的四则运算满足分配律、结合律等.复数的除法运算一般是将分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数，再利用复数的乘法运算加以化简. (3)几个常见的复数运算的技巧： i4k?1,i4k?1?i，i4k?2??1,i4k?3??i(k?N)； (1?i)2?2i,(1?i)2??2i； 1?i1?i?i,??i； 1?i1?iz?z?z?z； 若w??2213?i，则w3?1,1?w?w2?0. 22(4)注意复数代数形式的四则运算与复数几何意义的综合应用.
1．(2017高考新课标I，理3)设有下面四个命题
1p1：若复数z满足?R，则z?R；
zp2：若复数z满足z2?R，则z?R；
p3：若复数z1,z2满足z1z2?R，则z1?z2； p4：若复数z?R，则z?R.
其中的真命题为 A．p1,p3 C．p2,p3
B．p1,p4 D．p2,p4
2．（2017高考新课标II，理1）A．1?2i C．2?i
3?i? 1?i
B．1?2i D．2?i
3．(2017高考新课标III，理3)设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣=
A．
1 2 B．2 2C．2
D．2
4.(2016高考新课标II，理2)设(1?i)x?1?yi，其中x，y是实数，则A．1 B．2
C．3
x?yi=
D．2
5.(2016高考新课标II，理1)已知z?(m?3)?(m?1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是
， A．(?31)
，3) B．(?1
C．(1,+?)
?3) D．(-?，6. (2016高考新课标III，理2)若z=1+2i，则
4i? zz?1C． i
D．?i
A．1 B．?1
7.（2015高考新课标II，理2）若a为实数，且(2?ai)(a?2i)??4i，则a? A．?1
B．0
C．1
D．2
8.（2015高考新课标I，理1）设复数z满足A．1 B．2
1?z=i，则|z|= 1?zC．3 D．2
1．若复数满足A．C．
，则
B．D．
2．复数z?i（i为虚数单位）在复平面内关于虚轴对称的点位于 1?iB．第二象限 D．第四象限
，则
B． D．2
为纯虚数（为虚数单位），其中
，则
A．第一象限 C．第三象限 3．设复数满足A．C．
4．若复数
a?i的实部为 2?aiA． B．
C．
ixD．
5．欧拉公式e?cosx?isinx(i为虚数单位)是由著名数学家欧拉发明的，他将指数函数的定义域扩大到了复数，
建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，若将e表示的复数记为z，则z?1?2i?的值为 A．?2?i C．2?i
B．?2?i D．2?i
πi21．已知复数z?(2?3i)(1?2i)，则在复平面内，复数z所对应的点位于
iD．第四象限
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 2．已知复数z，“z?z?0”是“z为纯虚数”的 A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2i33．设i是虚数单位，复数z?，则复数z的共轭复数为
1?i[KS5UKS5U.KS5UA．?1?i B．?1?i C．1?i D．1?i 4．若复数满足
（为虚数单位），则
B．D．
A． C．
真题回顾：
1.B 2.D
3.C【名师点睛】共轭与模是复数的重要性质，运算性质有：
(1)z1?z2?z1?z2；(2)z1?z2?z1?z2；(3)z?z?z?z；(4)z1?z2?z1?z2?z1?z2；
22z1z1?(5)z1z2?z1?z2；(6). z2z14.B【解析】因为(1?i)x=1+yi,所以x?xi=1+yi,所以x=1,y?x?1,故|x?yi|=|1+i|?5.A
6.C【解析】
2,故选B.
4i4i??i，故选C． zz?1(1?2i)(1?2i)?1
7.B 8.A
名校预测
1．【答案】A【解析】由2．【答案】A【解析】因为z?，得
，∴
．故选A．
i?1?i?i11?11?????i，所以复数z在复平面内对应的点为??,?，1?i?1?i??1?i?22?22?其关于虚轴对称的点应为??11?,?，位于第一象限，故选A． ?22?，得z?3．【答案】A【解析】由
i?1?i?i11＝＝?i，1?i?1?i??1?i?22为纯虚数，可得
，解得
故选A．
4．【答案】C【解析】根据，则
a?i1?i?1?i??2?i?2?3i?i213???i，所以其实部是，故选C． ??55552?ai2?i5．【答案】A【解析】由题意得z?eπi2?cosππ?isin?i，所以z?1?2i??i(1?2i)??2?i，故选A． 22
专家押题
(2?3i)(1?2i)2?4i?3i?6i28?i????1?8i，故在复平面内，复数z1．【答案】C 【解析】依题意，z?iii所对应的点为(?1,?8)，位于第三象限，故选C．
2．【答案】B【解析】当z?0时，满足z?z?0，此时z为实数；而当z为纯虚数时，z?z?0，所以“z?z?0”是“z为纯虚数”的必要不充分条件，故选B．
?2i?1?i?2i32?2i3．【答案】D【解析】z????1?i, 则z的共轭复数为1+i,故选D.
1?i?1?i??1?i?24．【答案】C【解析】由
，可得
,
.故选C．
高考理数考前20天终极冲刺攻略： 数系的扩充与复数的引入 含答案解析
