18.（本题满分12分）
如图，在四棱锥P?ABCD中，?PAD为等边三角形，边长为2，?ABC为等腰直角三角形，AB?BC，
AC?1，?DAC?90?，平面PAD?平面ABCD.
（1）证明：AC?平面PAD；
（2）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值；
（3）棱PD上是否存在一点E，使得AE∥平面PBC？若存在，求出【答案】（1）证明见解析； （2）
PE的值；若不存在，请说明理由. PD30； 10（3）棱PD上存在一点E，使得AE∥平面PBC， 且
PE1?. PD3【解析】 【分析】
（1）用面面垂直的性质定理证明线面垂直；
（2）取AD的中点O，连接PO，得PO?平面ABCD，以AD为x轴，AC为y轴，过A平行于PO的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，用平面的法向量的夹角求二面角：
uuuruuuruuur（3）假设棱PD上存在一点E，使得AE∥平面PBC，设PE??PD，由AE与平面PBC的法向量垂直
求得?，如果求不出，说明不存在
【详解】（1）∵平面PAD?平面ABCD，AC?AD，平面PADI平面ABCD?AD，
AC?平面ABCD，?AC?平面PAD；
（2）取AD的中点O，连接PO，由于?PAD是等边三角形，所以PO?AD，由平面PAD?平面ABCD，得PO?平面ABCD，PO?3，
以AP为x轴，过A平行于PO的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A?0,0,0?，AC为y轴，
?11?D?2,0,0?，C?0,1,0?，B??,,0?，P1,0,3，
?22???
uuur?11?uuurrPC??1,1,?3，BC??,,0?，设平面PBC的一个法向量为n??x,y,z?，
?22???ruuur?n?PC??x?y?3z?0r?则?ruuu，取x??3，则y?3，z?2，n??3,3,2， r11?n?BC?x?y?0?22ur平面PAD的一个法向量为m??0,1,0?，
??urrurrm?ncosm,n?urr?mn1?3??3?2?3??2?2?230， 10∴平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为
30； 10uuuruuur（3）假设棱PD上存在一点E，使得AE∥平面PBC，设PE??PD（0???1），
uuuruuur由（2）PD?1,0,?3，AP?1,0,3，
????r?uuuruuuruuuruuuruuur23?AE?AP?PE?AP??PD?1??,0,3??3，又平面PBC的一个法向量是n???1,1,3??，
????uuurr23?AE?n??1???3?1PE13?3??0，解得??，??.
3PD3?又AE平面PBC，∴棱PD上存在一点E，使得AE∥平面PBC，且
PE1? PD3【点睛】本题考查由面面垂直证明线面垂直，考查用空间向量法求二面角，研究线面平行.解题是建立空间直角坐标系.
19.在条件①?a?b??sinA?sinB???c?b?sinC，②asinB?bcos?A?任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.
????6?③bsin?，
B?C?asinB中2在?ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b?c?6，a?26，______. 求?ABC的面积. 【答案】见解析 【解析】 【分析】
若选①：利用正弦定理可得?a?b??c?b???c?b?c，即b?c?a?bc，再利用余弦定理求得cosA，
222进而求得bc，从而求得面积；
若选②：利用正弦定理可得sinAsinB?sinBcos?A?利用余弦定理求得bc，从而求得面积； 若选③：根据正弦定理得sinBsin【详解】解：若选①：
由正弦定理得?a?b??c?b???c?b?c 即b?c?a?bc，
222????6??，化简可得tanA?3?，即A?， 36B?C??sinAsinB，整理可得A?，进而求得面积 23b2?c2?a2bc1??， 所以cosA?2bc2bc2因为A??0,??，所以A?222?3.
2又a?b?c?bc??b?c??3bc，
a?26，b?c?6，所以bc?4，
所以S?ABC?若选②：
由正弦定理得sinAsinB?sinBcos?A?11?bcsinA??4?sin?3. 223?????， 6?
因为0?B??，所以sinB?0，sinA?cos?A??????， 6?化简得sinA?31cosA?sinA， 22即tanA?3?，因为0?A??，所以A?. 3622又因为a?b?c?2bccos22?6，
?b?c?所以bc?2?a22?3?6?262?3??2，即
bc?24?123，
所以S?ABC?若选③：
由正弦定理得sinBsin111bcsinA??24?123??6?33. 222??B?C?sinAsinB. 2因为0?B??，所以sinB?0， 所以sinB?C?sinA，又因为B?C???A， 2AAA?2sincos， 222A?A?，所以cos?0， 222所以cos因为0?A??，0??sin2A1A???，?，所以A?. 22263222又a?b?c?bc??b?c??3bc，
a?26，b?c?6，所以bc?4，
所以S?ABC?11?bcsinA??4?sin?3. 223【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理处理三角形中的边角关系，考查三角形面积公式的应用，考查运算能
力
20.（本题满分12分）
3x2y2已知椭圆2?2?1（a?b?0）的离心率为，F是其右焦点，直线y?kx与椭圆交于A，B两点，
2abAF?BF?8.
（1）求椭圆的标准方程
（2）设Q?3,0?，若?AQB为锐角，求实数k的取值范围.
x2y2??1； 【答案】（1）
164（2）k?【解析】 【分析】
（1）根据椭圆对称性可得a?4，利用离心率可得e?3535或k?? 10103c?，则c?23，进而求得标准方程； 2a?x2y2?16?1??（2）联立?164，可得x1?x2?0，x1x2?，由?AQB为锐角可得 24k?1?y?kx?uuuruuur161?k2QA?QB?0，整理可得9??0，求解即可 24k?1【详解】解：（1）设F1为椭圆的左焦点，连接F1B，由椭圆的对称性可知，AF?F1B， 所以AF?BF?BF1?BF?2a?8，所以a?4， 又e???3c?，a2?b2?c2，解得c?23，b?2， 2ax2y2??1 所以椭圆的标准方程为
164uuuruuur（2）设点A?x1,y1?，B?x2,y2?，则QA??x1?3,y1?，QB??x2?3,y2?， ?x2y2?16?1??22联立?164，得?4k?1?x?16?0，所以x1?x2?0，x1x2? 24k?1?y?kx?
海南省海口市海南中学2020届高三第七次月考(3.8)数学试题
