M为线段AP的中点，则（ ）
A.CM与PN是异面直线 B.CM?PN
C.平面PAN?平面BDD1B1
D.过P，A，C三点的正方体的截面一定是等腰梯形 【答案】BCD 【解析】 【分析】
由CN，PM交于点A得共面，可判断A，利用余弦定理把CM，PN都用AC，AP表示后可比较大小，证明AN与平面BDD1B1后可得面面垂直，可判断C，作出过P，A，C三点的截面后可判断D. 【详解】C，N，A共线，即CN，PM交于点A，共面，因此CM，PN共面，A错误； 记
?PAC??，则
PN2?AP2?AN2?2AP?ANcos??AP2?1AP2?AP?ACcos?41AC2?AP?ACcos?4又
，
CM2?AC2?AM2?2AC?AMcos??AC2?，
AP?AC，
CM2?PN2?3AC2?AP2??0，CM2?PN2，即CM?PN.B正确； ?4BB1?平面ABCD，BB1?BD?B，由于正方体中，则BB1?AN，可得AN?平面BB1D1D，AN?BD，
AN?平面PAN，从而可得平面PAN?平面BDD1B1，C正确；
取C1D1中点K，连接KP，KC，A1C1，易知PK∥A1C1，又正方体中，AC?PK∥AC，PK，11∥AC，
AC共面，PKCA就是过P，A，C三点的正方体的截面，它是等腰梯形.D正确
故选：BCD.
【点睛】本题考查共面，面面垂直，正方体的截面等问题，需根据各个知识点进行推理证明判断.难度较大.
第Ⅱ卷
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
rrrrrrrrr13.已知向量a，b满足a?1，b?2，a?a?b，则a与b夹角的大小是______.
??【答案】
3? 4【解析】 【分析】
rrr2由向量垂直的充分必要条件可得a?b??a，据此求得向量夹角的余弦值，然后求解向量的夹角即可
r2rrrrrrrr【详解】由a?a?b得，a?a?b?0，即a?a?b?0，
????rrrrrrr2据此可得：a?b?a?b?cosa,b??a，
rr?cosa?b??12， ??21?2rrrr3?又a与b的夹角的取值范围为?0,??，故a与b的夹角为.
4【点睛】本题主要考查平面向量的数量积，向量垂直的充分必要条件，向量夹角的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
14.某地有A，B、C、D四人先后感染了新型冠状病毒，其中只有A到过疫区，B肯定是受A感染的，对于
C，因为难以判定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是
1，同样也假设D受2A、B和C感染的概率都是
1.在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量，写3出X的可能取值为______，并求X的均值（即数学期望）为______. 答案：1，2，3
11 6【分析】由题意分析得X可取的值为1、2、3，用“X?k”（k?1、2、3）表示被A直接感染的人数.四个人的传染情形共有6种：A?B?C?D，
，，，，.
每种情况发生的可能性都相等，所以A传染1人有两种情况，传染2人有三种情况，传染3人有一种情况.“x?1”表示A传染B，没有传染给C、D：“x?2”表示A传染给B、C，没有传染给D，或A传染给B、D，没有传染给C：“x?3”表示A传染给B、C、D.于是有
12111121111P?x?1??1???，P?x?2??1???1???，P?x?3??1???.
23323232236解析：X可取的值为1、2、3，其中P?X?1??X P 1 111，P?X?2??，P?X?3??，分布列为 3262 3 1 31 21 611111E?X??1??2??3??
326615.设函数f?x?的定义域为R，若存在常数??0，使f?x???x对一切实数x均成立，则称f?x?为“条件约束函数”.现给出下列函数： ①f?x??4x； ②f?x??x2?2； ③f?x??2x；
x2?2x?5
④f?x?是定义在实数集R上的奇函数，且对一切x1，x2均有f?x1??f?x2??4x1?x2. 其中是“条件约束函数”的序号是______（写出符合条件的全部序号）. 【答案】①③④ 【解析】
对于①，取??4即可； 对于②，因为x?0时，
f?x???，所以不存在??0，使f?x???x对一切实数x均成立； x对于③，因为f?x??2xx2?2x?5?2x?x?1?2?4?11x，取??即可； 22对于④，由于f?x?为奇函数，故f?0??0，令x1?x，x2?0得f?x??4x，故f??x??4?x，即
?f?x??4x，所以f?x??4x，取??4即可.
点睛：新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力.
16.已知F1、F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是他们的一个公共点，且?F1PF2??3，设椭圆离心率为e1，
双曲线的离心率为e2，则【答案】4 【分析】
13?2?______. 2e1e2ee设PF2?r2，F1F2?2c，椭圆和双曲线的离心率分别为1，2由余弦定理可得1?r1，PF4c2??r1???r2??2r1r2cos4c2?4a12?r1r2③，所以
22?3，①在椭圆中，①化简为即4c?4a?3r1r2②，在双曲线中，化简为即
2213?2?4 e12e2【详解】设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a?a1），半焦距为c， 由椭圆和双曲线的定义可知，设PF2?r2，F1F2?2c， 1?r1，PF椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，Q?F1PF2??3，则
∴由余弦定理可得4c??r1???r2??2r1r2cos222?3，①
在椭圆中，①化简为即4c?4a?3r1r2②， 在双曲线中，①化简为即4c?4a1?r1r2③， 所以
222213?2?4 2e1e2【点睛】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理是解决本题的关键.属于难题. 四、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本题满分10分）
在各项均不相等的等差数列?an?中，a1?1，且a1，a2，a5成等比数列，数列?bn?的前n项和Sn?2（1）求数列?an?、?bn?的通项公式；
（2）设cn?2n?log2bn，求数列?cn?的前n项和Tn.
an?1?2.
【解析】（1）设数列?an?的公差为d，则a2?a1?d，a5?a1?4d，
2?a1a5，即?a1?d??a1?a1?4d?，整理得d2?2a1d， Qa1，a2，a5成等比数列，?a22解得d?0（舍去）或d?2a1?2，?an?a1??n?1?d?2n?1 当n?1时，b1?2， 当n?2时，bn?Sn?Sn?1?2n?1?2??2n?2??2n?1?2n?2?2n?2n?2n
验证：当n?1时，b1?2满足上式， ∴数列?bn?的通项公式为bn?2.
n（2）由（1）得，cn?2n?log2bn?2a2n?1?n，
?Tn?(2?1)??23?2???25?3??L??22n?1?n? ??2?23?25?L?22n?1???1?2?3?L?n? ?2?1?4n?1?4n?1?n? ?222n?1?2n2?n??
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海南省海口市海南中学2020届高三第七次月考(3.8)数学试题
