（一）从题目中挖掘所应用的数学公式
x?x3例6 求函数y?的值域。 241?2x?x分析：分子，分母为x的高次幂且上下又无公因式，无法直接进行解答。但是，注意
到分母可以分解为?1?x2?，分子可以分解为x?1?x2?，即
2x?x312x1?x2。联想到三角中万能公式，令x?tg?，则 y????24221?2x?x21?x1?x11?11?y?sin2??cos2??sin4?,所以y???,? 24?44?本题的函数表达式中隐含着数学公式，能挖掘出来这一条件可使问题顺利解决。 （二）从题目中挖掘所应用的几何模型
例7已知锐角?,?,?满足cos2??cos2??cos2??1，求证：tg??tg??tg??32。
分析：直接用三角方法来证颇感棘手，若由条件联想到立体几何中长方体对角线的性质则茅塞顿开。
DABCD1C1A1B1图2证明：构造长，宽，高分别为a,b,c 的长方体ABCD?A1B1C1D1，如图2，使其对角线AC1与棱AB,AD，AA1的夹角分别为?,?,?，显然cos2??cos2??cos2??1，且
b2?c2c2?a2a2?b2b2?c2c2?a2tg??,tg??,tg??,则tg??tg??tg?=++ abcaba2?b22b?cc?aa?b2bacacb2(??)=[(?)?(?)?(?)]?(2?2?2)?32 ?c2abc2abacbc2当且仅当a=b=c时取等号，即?????时结论成立。
此题也体现了数形结合思想，题目的结构特征隐藏着数学模型。利用数形结合这一转化方法把问题的难度降低了，这有利于培养思维的独创性。
五．从联想中挖掘隐含条件
（一）类比联想数量关系，从认知动因与方法中挖掘隐含条件
在数学教学中，既有激活认知动因的策略，还有激活认知内容与方法的策略。前者靠联想，后者靠类比。解题过程既是联想过程，又是类比过程。
6
例8 一个等比数列的前n项和是48，前2n项的和是60，则前3n项的和是多少？ 挖掘隐含条件的分析：读者根据认知动因的激活策略，联想到等差数列的类似题，必须分清前n项，次n项与后n项是与题设中的前n项，前2n项与前3n项是完全不同的概念，为了挖掘隐含条件，解题经验说明一个等差数列的前n项之和，次n项之和与后n项之和也同样成等差数列，试问此题中等比数列的前n项之和，次n项之和与后n项之和是否也成等比数列呢？这即可以证明，又可以用特殊激活一般的策略，设2，4，8，16，32，64 成等比数列，前2项的和是6，次2项的和是24，后2项的和是96，同样也成等比数列，其公比是4（原公比是2）。再回到本例题，它可以转化成一个等比数列的前n项之和是48，次n项之和是12即（60-48=12），设前3n项的和是S，后n项之和是S-60，求S=？依等比数列的定义有比利式12/48=（S-60）/12，得出S=63。 （二）联想数列方程，从抽象函数中挖掘隐含条件 例9 设f(x)?析式。
解：解这类题一般利用fn?1?x??f(fn(x))来建立数列方程。
fn?1?x??f(fn(x))=xfff?（fx）?）））（共n重f），试求f1986(x)的解,并记fn?x??（（（21?xfn?x?1?fn(x)2
于是有
1fn?12(x)?1?1 fn2(x)可见{
1}是等差数列，公差为1， fn2(x)这是一个隐含条件，它把函数方程转化为数列方程，而这是一等差数列方程容易得到解决，此种方法的关键是要掌握好等差数列的知识。
?11??(n?1)?1 22fn(x)f1(x)11?x211?2?2?1 注意到2=
xxf1(x)f2(x) 7
?fn(x)??f1986(x)?x1?nx2x1?1986x2
六．从联系中挖掘隐含条件
（一）联想中审视已知条件，从联系中挖掘隐含条件
当单独、孤立地审视已知条件已经达到“山穷水复疑无路时，联系审视几个已知条件，就可能出现柳岸花明又一村的新境界”，从而挖掘隐含条件。
例10 在锐角三角形中，tgA,tgB,tgC成等差数列，若f（cos2A）=cos(B?C?A)，试求函数f（x）的表达式。
1挖掘隐含条件的分析：一方面有第一个已知条件得出tgB?(tgA?tgC)，另一方面由诱
2导公式得出tgB??tg(A?C)?tgA?tgC由以上两方面结合得出
tgAtgC?1tg?AtgtgAC?tgC3=.因为?2?tgAtgC?1，推出隐含条件tgA?tgA?t1gCtgC2coBs?(C?tg2A?1?3/tgc??19?tg2C=Acos(??2A)=-cos2A =2??, 22tgA?1?3/tgc??19?tgC21?tgC9?tg2C)?这样，第二个已知条件转化为f( 1?tgC9?tg2C用变量替换法求函数的表达式：
1?tg2C9?(1?x)/(1?x)5x?41?x2令=X ?f(x)???tgC?1?tg2C9?(1?x)/(1?x)4x?51?x本题将几个已知条件一起进行推理，将所得的信息取交集，进而得到新的已知条件。
（二）仔细分析条件，从条件中挖掘隐含条件
11n例11已知a，b?R?，且??1，试证，对于每一个n?N?，?a?b??an?bn?22n?2n?1ab成立。（1998年全国高中数学联赛题）
11证明：由??1可推得：
ab 8
a?b?ab????(1)ab?4?????(2)所以由（1）（2）（3）得：
?a?1???b?1??1?(3)?a?b?n?an?bn=?ab??an?bn??an?1??bn?1??1=
n?a?1??an?1?an?2?an?3???a?1???b?1??bn?1?bn?2?bn?3???b?1??1
=?an?1?an?2?an?3???a?1???bn?1?bn?2?bn?3???b?1??1
??abn?1?abn?22n?1n)?1=22n?2n?1 ???ab?1?1=(2?1?在证明过程中，挖掘出上述的三个隐含条件，巧妙分解出?a?1???b?1??1，使问题迎韧而解。
七．从数形结合中挖掘隐含条件
（一）仔细分析条件，从图形特征上挖掘隐含条件
有些数学问题，其部分条件隐于图形之中，若能抓住图形的特征，利用运动变换的观点，恰当地添设辅助图形，可能就会发现含而未漏的条件，使问题获解。
例12 在平面上有两点A（-1，0），B（1，0），在圆?x?3???y?4??4上取一点P，求使AP2?BP2取最小值时点P的坐标。
分析：本题的一般解法是列出目标函数y?AP2?BP2，然后再求最小值，过程繁且易出错。如图3，并结合三角形的中线性质，便可得所以当OP达到最小值时，AP2?BP2?2OP2?2OB2?2。AP2?BP2也达到最小值。易知点O与圆心（3，4）的连线与圆的交点即为所求点P的坐标。
所以联立以下方程得到：
4?y?x?消元得到下列一元二次方程 3??(x?3)2?(y?4)2?4?AO22y.CPBx图3921215x2?30x?9?0 ?x1?,x2? 由于x2?不符合题意。
5559912所以x?P点的坐标为(,)
555G（二）利用转化思想，从图形中挖掘隐含条件
例13 已知正方形ABCD，边长为4，E，F分别是AB，AD的中
9
AFDPENOCB图4点，GC?平面ABCD且GC=2，求B点到平面EFG的距离。 分析：如图4?EF//BD,?BD//平面EFG，所以B点到 平面EFG的距离等于正方形ABCD的中心O到平面EFG
的距离，故可以将B点处的面垂线平移到0点处。这是一隐含条件，由题中给的数据很难解答本题。但观察图形发现上述隐含条件，这种想法是利用平移的思想将空间图形集中到一个平面内。
所以过点O作ON?平面EFG，易知AC与EF的交点P是EF的中点，且EF?平面
PCG，所以NPC=
点一定落在
PG上，直角三角形PCG中，
322AC?32,CG?2,PG?22,?sin?GPC?，在直角三角形ONP中，411ON=POsin?OPN?211211，即B点到平面EFG的距离为。 1111八 、结 束 语
以上几种挖掘隐含条件的方法互相联系，即可以从条件中去挖掘，又可以从结论中去挖掘，还可以从概念与性质中去挖掘，更可以从类比联想中去猜测，从题目的结构特征中去联系，甚至于从数形结合中去观察、推理。同时，挖掘隐含条件的过程既是提高数学解题能力的过程，又是发展智力、进行数学素质教育的过程。一道数学题隐含条件的多少也是衡量数学题难度的标准之一，只要隐含条件挖掘出来了，数学题的激活将马到成功。因此，挖掘隐含条件是解数学题的关键。望广大师生从中得到一点启发，有意识的去挖掘隐含条件，提高数学解题的能力。
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高中数学隐含条件的挖掘
