10.3二项式定理
【考纲要求】
1、能用计数原理证明二项式定理.
2、会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 【基础知识】
0n1n?12n?22rn?rrnn1、二项式定理：(a?b)n?Cna?Cnab?Cnab???Cnab???Cnb
二项式的展开式有n?1项，而不是n项。
rn?rr2、二项式通项公式：Tr?1?Cnab （r?0,1,2,???,n） （1）它表示的是二项式的展开式的第r?1项，而不是第r项
r（2）其中Cn叫二项式展开式第r?1项的二项式系数，而二项式展开式第r?1项的
系数是字母幂前的常数。
（3）注意r?0,1,2,???,n
3、二项式展开式的二项式系数的性质
（1）对称性：在二项展开式中，与首末两项“等距离”的两项的二项式系数相等。即
mn?m=Cn Cn（2）增减性和最大值：在二项式的展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值，
如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等且最大。
012n?2n?1n（3）所有二项式系数的和等于2n，即Cn?Cn?Cn????Cn?Cn?Cn?2n
奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，即
024135Cn?Cn?Cn????Cn?Cn?Cn????2n?1
4.二项展开式的系数a0,a1,a2,a3,???an的性质：
对于f(x)?a0?a1x?a2x2?ggg?anxna0?a1?a2?a3?????an?f(1)，
a0?a1?a2?a3?????(?1)nan?f(?1)
5、证明组合恒等式常用赋值法。 【例题精讲】
例1 若(1?2x)2004?a0?a1x?a2x2?......?a2004x2004,x?R,求（a0?a1）+（a0?a2）+……+（a0?a2004）
解：对于式子：(1?2x)2004?a0?a1x?a2x2?......?a2004x2004,x?R, 令x=0，便得到：a0=1
- 1 - / 7
令x=1，得到a0?a1?a2?......?a2004=1
又原式：（a0?a1）+（a0?a2）+……+（a0?a2004）
=2004a0?(a1?a2?......?a2004)?2003a0?(a0?a1?a2?......?a2004) ∴原式：（a0?a1）+（a0?a2）+……+（a0?a2004）=2004 例2. 已知二项式(x?2n*，（n∈N）的展开式中第5项的系数与第3项的系数的 )2x比是10：1，
（1）求展开式中各项的系数和
（2）求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项 解：（1）∵第5项的系数与第3项的系数的比是10：1，
C∴C4n2n?(?2)4?(?2)2?10，解得n=8 1令x=1得到展开式中各项的系数和为(1-2)8=1
(2) 展开式中第r项, 第r+1项,第r+2项的系数绝对值分别为
Cr?18?2n?r,C8?2r,C8?2r?1,
r?18rr?1若第r+1项的系数绝对值最大,则必须满足：
C
?2n?r≤C8?2r 并且C8?2r?1 ≤C8?2r，解得5≤r≤6；
rr?1r所以系数最大的项为T7=1792?11；二项式系数最大的项为T=1120 ?5x11x6 10.3【基础精练】
二项式定理强化训练
1
1．在二项式(x2－)5的展开式中，含x4的项的系数是 ( )
xA．－10 B．10 C．－5 D．5
2．(2009·北京高考)若(1＋2)5＝a＋b2(a，b为有理数)，则a＋b＝ ( )
A．45 B．55 C．70 D．80
- 2 - / 7
3．在( 是
1
x＋
51
x3
)的展开式中，所有奇数项的系数之和为1 024，则中间项系数
n( )
A．330 B．462 C．682 D．792
?22?n4．如果?3x－3?的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为 ( )
?
x?
A．10 B．6 C．5 D．3
5．在?2x－?5的展开式中，系数大于－1的项共有 ( )
2??A．3项 B．4项 C．5项 D．6项 6．二项式(1?x)4n?1的展开式中，系数最大的项是 ( )
A．第2n＋1项 B．第2n＋2项
C．第2n项 D．第2n＋1项和第2n＋2项
1
7．若(x2＋3)n展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项是________．
?
y?
x2
8．（ x＋2)5的展开式中x2的系数是________；其展开式中各项系数之和为________．(用
x数字作答) 9．若?2x－
?
?212?9
?的展开式的第7项为，则x＝________.
42?
14
2x)的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．
n10．已知(x－
(1)证明：展开式中没有常数项； (2)求展开式中所有有理项．
11．设(2x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，求：
(1)a0＋a1＋a2＋a3＋a4；
(2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|； (3)a1＋a3＋a5；
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(4)(a0＋a2＋a4)－(a1＋a3＋a5).
【拓展提高】
1．在(3x－2y)20的展开式中，求： (1)二项式系数最大的项； (2)系数绝对值最大的项； (3)系数最大的项．
【基础精练参考答案】
2(5－k)10－3k1.B【解析】：Tk＋1＝Ck(－x－1)k＝(－1)kCk(k＝0,1，…，5)，由10－3k＝45x5x得k＝2.含x4的项为T3，其系数为C25＝10.
2.C【解析】：由二项式定理得：
(1＋2)5＝1＋C12＋C22)2＋C32)3＋C42)4＋C52)5＝1＋52＋20＋55(5(5(5·(202＋20 ＋42＝41＋292，
∴a＝41，b＝29，a＋b＝70.
3.B【解析】：∵二项式的展开式的所有项的二项式系数和为2，而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等．由题意得，2n－1＝1 024，∴n＝11，∴展开式共有12项，中间项为第六项、第七项，系数为C11＝C11＝462.
5
6
22
n?2?2n－k4.C【解析】：∵Tk＋1＝Ck·?－3?k n(3x)
?x?
n－k＝(－1)k·Ck·2k·x2n－5k， n3
5k∴由题意知2n－5k＝0，即n＝，∵n∈N*， k∈N，
2∴n的最小值为5.
5.B【解析】：?2x－?5的展开式共有6项，其中3项(奇数项)的系数为正，大于
2??1?50?－1；第六项的系数为C552?－?＞－1，故系数大于－1的项共有4项． ?2?
kk6.A【解析】：由二项展开式的通项公式Tk＋1＝C4n?1 (－x)＝(－1)C4n?1x，可
kkk?
y?
k知系数为(－1)kC4n?1，与二项式系数只有符号之差，故先找中间项为第2n＋1项和
- 4 - / 7
2nkk第2n＋2项，又由第2n＋1项系数为(－1)2nC4＝，第2n＋2项系数为(－1)Cn?14n?1＋1
n?1C42n?1n?1＝－C42n?1＜0，故系数最大项为第2n＋1项．
7.10【解析】：展开式中各项系数之和为
1nnS＝C0n＋Cn＋…＋Cn＝2＝32，∴n＝5.
Tk＋1＝C5kx2??5－k1kkk (3)＝C5 x10－2k－3k＝C5 x10－5k，
x∴展开式中的常数项为T3＝C5＝10.
2k5－k5－3k8. 10 253【解析】：∵Tk＋1＝C5x·(2)k＝Ck·2k， 5x2
x由5－3k＝2，∴k＝1，∴x的系数为10. 令x＝1得系数和为35＝243.
12?2163x?9. －【解析】：由T7＝C92?－?6＝，
3?2?41∴x＝－.
3
1212
10.【解析】依题意，前三项系数的绝对值是1，C1n()，Cn()，
221212
且2C1n·＝1＋Cn()，
22
即n2－9n＋8＝0，∴n＝8(n＝1舍去)， ∴展开式的第k＋1项为Ckx)8－k(－8(
14
2x18－kkC816－3k＝(－)kCk·x－＝(－1)k·k·x. 8·x22424 (1)证明：若第k＋1项为常数项， 当且仅当
16－3k＝0，即3k＝16， 4
k2
)k
∵k∈Z，∴这不可能，∴展开式中没有常数项． (2)若第k＋1项为有理项，当且仅当∵0≤k≤8，k∈Z，∴k＝0,4,8， 即展开式中的有理项共有三项，它们是：
16－3k为整数， 4
T1＝x4，T5＝x，T9＝
3581－2
x. 256
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二项式定理练习题
