。 。 。 。 。 。 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 第2讲 三角恒等变换与解三角形
一、选择题
31
1．(2017·衡水中学月考)已知α为锐角，cos α＝，tan(α－β)＝－，则tan β
53的值为( )
1913
A. B．3 C. D. 31393解析：由α为锐角，cos α＝，
54
得sin α＝，
5
41
所以tan α＝，因为tan(α－β)＝－，
33
tan α－tan（α－β）
所以tan β＝tan[α－(α－β)]＝＝3.
1＋tan α·tan（α－β）答案：B
π22
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c＝(a－b)＋6，C＝，则
3△ABC的面积是( )
9333
A．3 B. C. D．33
22
解析：c＝(a－b)＋6，即c＝a＋b－2ab＋6.① π222
因为C＝，由余弦定理得c＝a＋b－ab，②
3由①和②得ab＝6，
11333
所以S△ABC＝absin C＝×6×＝.
2222答案：C
2
2
2
2
2
1
372π
3．(2017·德州二模)已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0＜β＜α＜，那么5102β＝( )(导学号 54850106)
A.
ππππ
B. C. D. 12643
3π解析：由cos α＝，0＜α＜，
524
得sin α＝，
5
72π
又cos(α－β)＝，0＜β＜α＜，
102得sin(α－β)＝
2， 10
372
则cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋
510422×＝， 5102
ππ
由0＜β＜，得β＝.
24答案：C
?π?1则cos?2x－5π?＋sin2?π－x?的值为( )
4．(2017·韶关调研)已知cos?x－?＝，??3?3?33??????
1155A．－ B. C. D．－ 9933
5π?2?π?π???2?π22?解析：cos?2x－?＋sin?－x?＝－cos?2x－π?＋sin(x－)＝1－2cos?x－?3?3?3?3??3???π?π?52?2?＋1－cos?x－?＝2－3cos?x－?＝.
3?3?3??
答案：C
5．(2017·山东卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C，则下列等式成立的是( )
A．a＝2b C．A＝2B
B．b＝2a D．B＝2A
解析：因为2sin Acos C＋cos Asin C＝sin A·cos C＋sin(A＋C)＝sin Acos C＋sin B.
所以等式左边去括号，得
sin B＋2sin Bcos C＝sin Acos C＋sin B，
2
则2sin Bcos C＝sin Acos C，
因为角C为锐角三角形的内角，所以cos C不为0. 所以2sin B＝sin A，根据正弦定理变形，得a＝2b. 答案：A 二、填空题
6．(2017·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcos B＝acos C＋ccos A，则B＝________．
解析：由正弦定理得2sin Bcos B＝sin A·cos C＋sin Ccos A＝sin(A＋C)＝sin B．所以2sin Bcos B＝sin B，
1π又sin B≠0，所以cos B＝，故B＝.
23π
答案： 3
π??π?1??π?7．(2017·池州模拟)已知sin?－α?＝?0＜α＜?，则sin?＋α?＝________．(导2??3?3??6?学号 54850107)
解析：因为sin?
?π－α?＝1，
?3
?3?
?π?π???π??π?所以cos?＋α?＝cos?－?－α??＝sin?－α?；
???6??3??2?3
πππ2π
又0＜α＜，所以＜＋α＜. 2663
?π?所以sin?＋α?＝ ?6?
22. 3
22答案：
3
?π?1－cos?＋α?＝ ?6?
2?1?1－??＝
?3?
2
8．(2017·浙江卷)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，则△BDC的面积是________，cos∠BDC＝________．
4＋2－41
解析：由已知，cos ∠ABC＝＝.
2×4×24
2
2
2
3
1
所以cos ∠CBD＝－，
4
所以sin ∠CBD＝1－cos∠CBD＝
2
15， 4
111515
所以S△ABC＝×BD×BC×sin ∠CBD＝×2×2×＝.
2242又BC＝BD＝2，且∠ABC＝2∠BDC， 12
则cos ∠ABC＝＝2cos∠BDC－1.
4解得cos ∠BDC＝答案：
15 2
10 4
1010或－(舍去)． 44
三、解答题
9．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋3cos A＝0，a＝27，b＝2.
(1)求c；
(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积． 解：(1)由sin A＋3cos A＝0及cos A≠0得tan A＝－3， 2π
又0＜A＜π，所以A＝. 3
2π2
由余弦定理，得28＝4＋c－4c·cos .
3则c＋2c－24＝0，解得c＝4或－6(舍去)． π
(2)由题设AD⊥AC，知∠CAD＝.
22ππ
所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝π－＝.
326
1π
AB·ADsin 26
故△ABD面积与△ACD面积的比值为＝1.
1
AC·AD21
又△ABC的面积为×4×2sin ∠BAC＝23，
2所以△ABD的面积为3.
10．(2017·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a>b，a3
＝5，c＝6，sin B＝. 5
4
2
(1)求b和sin A的值； π??(2)求sin?2A＋?的值． 4??解：(1)在△ABC中，因为a>b， 34
故由sin B＝，可得cos B＝. 55
由已知及余弦定理，有b＝a＋c－2accos B＝13，所以b＝13. abasin B313
由正弦定理＝，得sin A＝＝. sin Asin Bb13313
所以b的值为13，sin A的值为.
13(2)由(1)及a 213 ， 13 2 2 2 12 所以sin 2A＝2sin Acos A＝， 1352 cos 2A＝1－2sinA＝－. 13 π?ππ72?故sin?2A＋?＝sin 2Acos ＋cos 2Asin ＝. 4?4426? ?π??π?11．(2017·惠州模拟)已知函数f(x)＝4cos x·sin?x＋?＋m(m∈R)，当x∈?0，?6?2??? 时，f(x)的最小值为－1. (导学号 54850108) (1)求实数m的值； (2)在△ABC中，已知f(C)＝1，AC＝4，延长AB至D，使BC＝BD，且AD＝5，求△ACD的面积． ππ??π??解：(1)因为f(x)＝4cos xsin?x＋?＋m＝4cos x?sin xcos ＋cos xsin ?＋m＝ 6?66???π??2 3sin 2x＋2cosx＋m＝ 3sin 2x＋cos 2x＋1＋m＝2sin?2x＋?＋m＋1. 6??π?π7π??π?因为x∈?0，?，2x＋∈?，?得 2?6?6?6?π??2sin?2x＋?＝－1. 6?min? 所以f(x)＝－1＝－1＋m＋1，解得m＝－1. π??(2)由(1)知f(x)＝2sin?2x＋?，且f(C)＝1， 6?? 5 π??所以2sin?2C＋?＝1， 6?? π?π13π? 因为C∈(0，π)，得2C＋6∈??6，6??， 所以2C＋π56＝π6，解得C＝π 3 . 如图，设BD＝BC＝x，则AB＝5－x， 在△ACB中，由余弦定理， 得cos C＝1 2＝ 42 ＋x2 －（5－x） 2 2×4×x， 解得x＝3 2 . 22 42 ＋??3所以cos A＝?5－2???－??3?2???＝132 72×4×??314，得sin A＝1－cosA＝. ?5－2??7? 所以S117107 △ACD＝2AC·ADsin A＝2×5×4×7＝7. 6
2018年高考数学二轮复习第二部分专题二三角函数与平面向量第2讲三角恒等变换与解三角形课时规范练理
