经济数学期末考试试卷（A卷）
一、填空题（ 满分15分，每小题 3 分）
1. 设f(x)?11?lnx?1?x2的定义域为 .
2. 当x?0时，若ln(1?ax2)与xsinx是等价无穷小量，则常数a? ． 3. 设f?(x(x0)?f(x0?2h)0)?A，则limfh?0h? .
4. 设f(x)在(??,??)上的一个原函数为sin2x，则f?(x)? . 5. 设f(x)为连续函数，且f(x)?x?2?10f(t)dt，则f(x)? ．
二、选择题：（ 满分15分，每小题 3 分）
?sinx6．设f?x????xx?0，则在x?0处，f(x)（ ）
??1x?0（A）．连续 （B）．左、右极限存在但不相等 （C）．极限存在但不连续 （D）．左、右极限不存在
7. 设f(x)?x2?xsin?x，则函数f(x)（ ）
（A）有无穷多个第一类间断点； （B）只有1个可去间断点； （C）有2个跳跃间断点； （D）有3个可去间断点． 8．若点(1,4)是曲线y?ax2?bx3的拐点，则 ( )
（A）a?6,b??2； （B）a??2,b?6； （C）a?b?1； （D）a?b??2．9. 下列各式中正确的是（ ） （A）．(?baf(x)dx)??f(x) （B）
．df(x)?f?(x)dx （C）．d(?f(x)dx)?f(x) （D）．(?xaf(t)dt)??f(t)
10．某种产品的市场需求规律为Q?800?5p，则价格p?120时的需求弹性?d?（ （A）．4 （B）．3 （C）．4 % （D）．3 %
三、计算题（ 每小题5 分，共20分）:
11．求极限：lim(x1x?11?x?lnx) ）
12．设lim(x??x?ax)?8，求常数a的值. x?asinx13．设y?x，求dy|x??
?x?2costd2y14．设?，求2
dx?y?3sint
四、计算题（10分）
15．设f(x)???sinx,x?0．
ax?b,x?0? （1）确定常数a,b的值，使f(x)在x?0处可导； （2）求f?(x)；
（3）问f?(x)在x?0处是否连续．
五、计算题（满分10分）
1?1?e?xdx ??lnx17．求广义积分：?dx 21x16．求不定积分：六、应用题（ 满分20分）
18．过原点作曲线y?lnx的切线，求该切线与曲线y?lnx及x轴所围成的平面图形的面积，并求该图形绕x轴旋转一周所成立体的体积。
19．设生产某产品的固定成本为10万元，产量为x吨时的边际收入函数为R?(x)?10x?32，边际成本为C?(x)??40?20x?3x。求
（1）总利润函数； （2）产量为多少时，总利润最大 七、（ 满分10分，每小题 5 分）证明题:
x?1f(t)dt,a?x?b?20．设f(x)在[a,b]上连续且单调递增，证明F(x)??x?a?a在区间
?x?a?f(a),2[a,b]上也单调递增.
21．设f(x)在[0,?]上可导，f()?0，证明存在??(0,)，使得
222?? f(?)?tan??f?(?)?0
一、1.(0,e?1)?(e?1,??)；
二、6．（B）； 7.（D）；
答案及评分标准
?1； 3. 2A； 4. ．（A）； 9. （B）； 10?4sin2x； 5. ．（B）． x?1． 2. 8三、11．【解】lim(x?1x1xlnx?1?x?)?lim........................（2分）
x?1(1?x)lnx1?xlnx ?limlnx?1?11?lim??............（5分）
x?11?xx?1112?lnx???2xxxx?a2ax1xlimx?ax2a2a?x?ax??x?a)?lim(1?)?e?e2a............（3分） 12．【解】因为lim(x??x?ax??x?a2ax故e2a3?8，因此a?ln2............................................（5分）
2sinxlnx13．【解】因dy?d(e)?esinxlnxd(sinxlnx)...............................（2分）
sinxlnx ?e所以dy|x???e14．【解】
sin?ln?(cosxlnx?sinx)dx.....................（4分） x(cos?ln??sin??)dx??ln?dx........................（5分）
dyy?(t)3cost3????cott....................................（2分） dxx?(t)?2sint23(?cott)?dyddy3?csc2t332?()??????csct............（5分） dx2dxdxx?(t)2?2sint42x2y2dy9x??1，两边对x求导，得??【另解】函数的隐函数方程为............（2分） 49dx4y9xdyy?x(?)y?xd2yddy99814ydx????()?????............（5分） 2223dxdxdx4y4y4y
四、15．【解】（1）由f(x)在x?0处可导，知f(x)在x?0处连续且f?(0)存在，因此
f(0)?limf(x)，f??(0)?f??(0)
x?0因limf(x)?limf(x)?lim(ax?b)?b，f(0)?sin0?0，故b?0
x?0x?0?x?0?又 f??(0)?limx?0?f(x)?f(0)axf(x)?f(0)sinx，f??(0)?lim?lim?a?lim?1
???x?0x?0x?0xxxx故a?1，f?(0)?f??(0)?f??(0)?1，且
f(x)???sinx,?x,x?0x?0....................................（4分）
（2）当x?0时，f?(x)?(sinx)??cosx；当x?0时，f?(x)?(x)??1 因此，f?(x)??（3）因为
limf?(x)?limcosx?1，limf?(x)?lim1?1，f?(0)?1
x?0?x?0?x?0?x?0??cosx,?1,x?0x?0。...........................................（7分）
所以，limf?(x)?f?(0)，即f?(x)在x?0处是否连续．.....................（10分）
x?0
1ex1dx?dx?d(1?ex)?ln(1?ex)?C.............五、16．【解】?（5分） ?xxx??1?e1?e1?e17．
????lnx1lnx??11dx?lnxd(?)??|?(?1?1x2?1?1x)?xdx............（3分） xx1lnx1??1 ?lim??|1?lim(?x)?(lim?1)?1............（5分）
x???x???x???xxx1??六、18．【解】设切点为(x0,lnx0)，则由y??11得切线的斜率为k?，切线方程为
x0x y?lnx0?1(x?x0) （1） x0因切线过原点，将x?0，y?0代入（1）式，解得x0?e，故切点为(e,1)，切线方程为 y?lne?11(x?e) 即 y?x............（4分） ee该切线与曲线y?lnx及x轴所围成的平面图形的面积为
e1eee A??e?1??lnxdx??x(lnx?1)|1??1............（7分）
1222所求旋转体的体积为 V???1?e?19．【解】由题设。有
C(x)?C(0)?132?e1?ln2xdx??eee ??x(ln2x?2lnx?2)|1?2?(1?)......（10分）
33x?x0C?(t)dt?10??(?40?20t?3t2)dt?10?40x?10x2?x3
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