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年 级 内容标题 编稿老师
六年级 石翠花 学 科 奥数 版 本 列不定方程解较复杂的应用题（一） 【本讲教育信息】
一. 教学内容：
列不定方程解较复杂的应用题（一）
同学们好！这周和同学研究如何列不定方程解较复杂的应用题。 什么是不定方程？
怎样列不定方程解应用题呢？
下面先通过实例让同学们在教与学的过程中掌握思路，学会方法。 （一）思路指导：
例1. 李丽新年用13元买2元一张和3元一张的两种贺年片，请你算一算李丽两种贺年片各买了几张？
分析与解答：根据题目的条件和问题，可做出如下解答：
解：设买2元一张的贺年片x张，买3元一张的贺年片y张，于是可得方程为： 2x?3y?13 2x?13?3y x?13?3y 2 然后进行讨论，为了使x是整数，y都可以取哪些整数呢？
13?3?1?5 213?3?3 y?3时，x??2
2 当y?1时，x??x?2 所以原不定方程有两个整数解：??y?3张，3元一张贺年片1张。
?x?5 ?y?1? 答：李丽买来2元一张贺年片2张、3元一张贺年片3张，或者买来2元一张贺年片5 像例1这样题目中有两个未知数，但是却只有一个等量关系，也就是说只能列出一个方
程，如2x?3y?13，这样，一个方程中含有两个或两个以上的未知数的方程，叫做不定方程，所谓不定方程，是指这个方程的解是不固定的。
任意给x一个值，都可以得出相应y的值。因此不定方程一般都有无数组解。如
2x?3y?13，可以有如下组解： ?y?1?y?2?y?3?y?4 当? ???x?5x?35.x?5x?05.???? 但结合题目实际的情况买贺年片的张数应该是整数才可以，所以只有上述两组解符合题1
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意。
通过上面的研究，你知道什么是不定方程了吗？又怎么样用不定方程解应用题吗？请看例2，边阅读边思考用不定方程解应用题的思路和步骤是怎样的。
例2. 大汽车能容纳54人，小汽车能容纳36人，现在有378人，问要大小汽车几辆才能使每个人都上车，且每个车正好坐满？
分析与解答：根据题意，此题用不定方程解较为简捷。 （1）解：设大汽车有x辆，小汽车有y辆。 （2）列方程54x?36y?378 根据等量关系 （3）整理变形 3x?2y?21
2y?21?3x y?
（4）讨论符合题意的解 当?21?3x 2?x?1?y?9?x?3??y?6?x?5 ?y?3? 答：1辆大汽车和9辆小汽车或3辆大汽车和6辆小汽车或5辆大汽车和3辆小汽车。
例3. 学校打算安装一条42米长的自来水管道，准备使用3米和5米长的两种自来水管，在不截断自来水管的情况下，要尽可能多地使用5米长的管子，两种水管各需几根？
分析与解答：根据题意，该题可用列不定方程的方法求解。如果设需用5米长的水管x根，3米长的水管y根，列出不定方程后，却不需要求出x与y的所有整数解，而只需要求出x最大可以取几就行了。想一想，为什么？
解：设需要5米长的水管x根，3米长的水管y根。 列方程：5x?3y?42 3y?42?5x
42?5x 3 在能被3整除的前提下，x最大只能取6。
y??x?6 当x?6时，y?4，?是方程解。
y?4? 答：需要5米长的水管6根，3米长的水管4根。
例4. 一只箱子里装有蟋蟀和蜘蛛各若干只，它们共有46只脚，问箱子里各有几只？ 分析与解答：根据题意可知一只蟋蟀有6只脚，一只蜘蛛有8只脚，于是可以设有蟋蟀x只，蜘蛛y只，列不定方程求解。
解：设箱子里有蟋蟀x只，蜘蛛y只，依题意，则 6x?8y?46 6x?46?8y
2
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x?46?8y23?4y ?63 由于x、y必须都是自然数 所以y只能取2和5。
23?4?215??5 3323?4?53 当y?5时，x???1
33 当y?2时，x? 所以原方程有两组解： ??x?5?y?2?x?1 ??y?5 答：箱子里有5只蟋蟀，2只蜘蛛；或1只蟋蟀，5只蜘蛛。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. 甲级铅笔7角1支，乙级铅笔3角1支，用6元钱可以买两种铅笔共几支？
2. 有大小两种盒，大盒可装48粒巧克力，小盒可装30粒巧克力，现有306粒巧克力，要使每粒巧克力都装入盒内，且每盒都装满，问需大、小盒各有几个？
3. 某班48人到公园去划船，售票处规定，每只小船坐3人，每只大船坐5人，要保证每位同学都上船，而且大、小船都有，则需大船、小船各几只？
4. 有一批苹果，如果平均分给幼儿园大、小两个班的小朋友，每人可得6个，如果平均分给大班的小朋友，每人可得10个，如果平均分给小班的小朋友，每人可得几个？
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