寒假文科强化（四）：圆锥曲线中的定点和定值问题的解答方法
【基础知识】
1、对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决. 2、在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题一种思路是进行一般计算推理求出其结果；另一种是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，然后再进行一般性证明或计算，即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式，证明该式是恒定的.如果试题以客观题形式出现，特殊方法往往比较奏效. 题型一 ：定点问题
法一：特殊探求，一般证明；
法二：设该直线（曲线）上两点的坐标，利用点在直线（曲线）上，建立坐标满足的方程（组），求出相应的直线（曲线），然后再利用直线（曲线）过定点的知识加以解决。
例1 设点A和B是抛物线上原点以外的两个动点，且，求证直线过定点。 解：取写出直线的方程；
再取写出直线的方程；最后求出两条直线 的交点，得交点为。 设，直线的方程为， 由题意得两式相减得 ，即， 直线的方程为，整理得 ① 又，，，
直线的方程为 ②把代入直线得方程恒成立， 所以直线过定点 解：由上得 ② 又， 代入 ② 得，整理得， 直线过定点
【变式演练1】已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为．
A O B
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标． 题型二
定值问题
（1）通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，然后再进行一般性证明或计算，即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式，证明该式是恒定的.
解题方法 如果试题以客观题形式出现，特殊方法往往比较奏效.
（2）进行一般计算推理求出其结果。
例2：过抛物线：（＞0）的焦点作直线交抛物线于两点，若线段与的长分别为，则的值必等于（ ）．
A． B． C． D． 抛物线（＞0）的焦点，准线． ∴ ： 又由，消去得 ∴， ∴ ∴．
来源:]
例
x2y23．B是经过椭圆2?2?1.(a?b?0) 右焦点的任一弦，若过椭圆中心Ｏ的弦MN//AB，
ab图
求证：|MN|2：|AB|是定值
解析：对于本题，MN,AB分别为中心弦和焦点弦，可将其倾斜角退到0°，此时有
|MN|2?4a2，|AB|?2a,|MN|2:|AB|?2a（定值）．下面再证明一般性．
设平行弦MN、AB的倾斜角为?，则斜率k?tan?，MN的方程为y?(tan?)?x代入椭
4a2b21，另一方面，直线圆方程，又∵|MN|?(1?k)|x1?x2|即得|MN|?2 ○22b?csin?222ab22 由○1○2可知AB方程为y?tan?(x?c)．同理可得|AB|?222 ○
b?csin?2|MN|2:|AB|?2a（定值）
关于②式也可直接由焦点弦长公式得到．
例4．设上的两点，已知向量，,若m·n=0且椭圆的离心率短轴长为2，为坐标原点. (Ⅰ)求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值； （Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由. 【答案】 解：（Ⅰ）由题意知
椭圆的方程为 （Ⅱ）由题意，设AB的方程为 由已知
得：
(Ⅲ) （1）当直线AB斜率不存在时，即,由m·n=0
得
又 在椭圆上，所以，
所以S =
所以三角形AOB的面积为定
值 （2）.当直线AB斜率存在时：设AB的方程为y=kx+b
,
由
所以三角形的面积为定值.
【高考精选传真】[来源:学科网ZXXK]
1．（2012年江苏省16分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，．已知和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率． （1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点P．
【解析】（1）由题设知，，由点在椭圆上，得 ，∴。
由点在椭圆上，得
∴椭圆的方程为。
（2）由（1）得，，又∵∥， ∴设、的方程分别为，。 ∵注意到，∴ ∴直线的斜率为
（ii）证明：∵∥，∴，即。 ∴
2.【2012高考真题上海理22】（4+6+6=16分）在平面直角坐标系中，已知双曲线：． （1）过的左顶点引的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及轴围成的三角形的面积；
（2）设斜率为1的直线交于、两点，若与圆相切，求证：；
（3）设椭圆：，若、分别是、上的动点，且，求证：到直线的距离是定值. 由，得.
设P(x1, y1)、Q(x2, y2)，则.（lb ylfx） 又2，所以 ，
设O到直线MN的距离为d，因为， 所以，即d=.
综上，O到直线MN的距离是定值. 3、（2012高考真题福建理19）
如图，椭圆的左焦点为，右焦点为，离心率。过的直线交椭圆于两点，且的周长为8。 （Ⅰ）求椭圆的方程。
（Ⅱ）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点。试探究：
在坐标平面内是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。
（Ⅰ）设 则
的周长为 椭圆的方程为 【反馈训练】
1．过抛物线y2＝2px(p>0)上一定点M(x0，y0)(y0≠0)，作两条直线分别交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)，当MA与MB的斜率存在且倾斜角互补时，则于( )
A．－2 B．2 C．4 D．－4
2．设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，并且满足OA⊥OB，则y1y2等于( )
A．－4p2 B．－3p2 C．－2p2 D．－p2
4、过点M(p,0)任作一条直线交抛物线y2=2px(p＞0)于P、Q两点,则+的值为 （ ） A. B. C. D.
5、椭圆=1(a＞b＞0)上两点A、B与中心O的连线互相垂直，则的值为（ ） A. B. C. D.
6、已知F1、F2是两个定点，点P是以F1和F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF1⊥PF2，e1和e2分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有 （ ） A.+=4 B.+=2 +e22=4 +e22=2
y1＋y2
等y0
圆锥曲线中的定点和定值问题的解题方法
