交大附属中学“华约”自主招生强化训练二
第Ⅰ卷 选择题（共50分）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．已知集合A?yy?2,x?0，集合B?xy?x??x??12?，则
A?B?（ ）
A．?1,??? B．?1,??? C．?0,??? D．?0,???
2.在用二分法求方程x3?2x?1?0的一个近似解时，现在已经将一根锁定在（1，2）内，则下一步可断定该根所在的区间为（ ）
A.（1.4，2） B.（1，1.4） C.(1,1.5) D.(1.5,2)
3.如图是容量为150的样本的频率分布直方图，则样本数据落在?6,10?内的频数为（ ）
A.12 B.48 C.60 D.80
4.双曲线
y2a2?x2?1的一条渐近线方程为
2by?43x，
则双曲线的离心率为（ ）
4 C.5 D.7 A.5 B.4334
a15.设a??1,23,3,?3?，则使函数y?x的定义域为R且为奇函
数的所有a的值为（ ）
A.1，3 B.1，3，?13
C.1，3，2 D.1，2，3，?1 333
6.阅读右侧的算法流程图，输出的结果B为（ ） A.7 B.15 C.31 D.63
7.一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单该几何体的体积为（ ）
39m3 C.7m3 D.9m3 A.7 B.m3224
8.设a?R，函数f(x)?ex?a?e?x的导函数是f'(x)，且数。若曲线y?f(x)的一条切线的斜率是3，则切点的2（ ）
?ln2 A.ln2 B.?ln2 C.ln2 D.2211??1，且它的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取的最小正值时，9.数列?an?是等差数列，若a10位：m），则
f'(x)是奇函
横坐标为
an?（ ）
A.11 B.17 C.19 D.21
10.已知二面角??l??的大小为50?，P为空间中任意一点，则过点P且与平面?和平面?所成的角都是35?的直线的条数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
第Ⅱ卷 非选择题（共100分）
二、填空题：本大题共7小题，考生作答5小题，每小题5分，满分25分．
????11.已知向量a?(1,?2),b?(2,?)，且a与b的夹角为锐角，则实数?的取值范围是 .
?x?y?2?0?y12.已知实数满足?x?2y?5?0，则b?x的取值范围是
?y?2?0?
13.若将(x?a)(x?b)逐项展开得x2?ax?bx?ab，则x2出现的概率为1，x出现的概率为1，如42果将(x?a)(x?b)(x?c)(x?d)(x?e)逐项展开，那么x3出现的概率为 .
14.已知函数y?Asin(?x??)(A?0,??0,?????,??)图一部分如图所示，则该函数的解析式为 .
15．选做题（请考生在以下三个小题中任选一题做答，如做，则按所做的第一题评阅记分） （1）．（选修4—4坐标系与参数方程）已知直线的极坐标为?sin(???4)?22像的
果多方程
，则极点到该直线的距离是 . 则满足不等式
（2）．（选修4—5 不等式选讲）已知lga?lgb?0，
a2?1a?b2?1b??的实数?的范围
是 . （3）．(选修4—1 几何证明选讲）如图，两个等圆⊙O与⊙O'外
C在圆O'上且切，过O作⊙O'的两条切线OA,OB,A,B是切点，点
不与点A,B重合，则?ACB= .
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本答题共6小题，共75分）
2?16．（本小题12分）设函数f(x)?(sin?x?cos?x)2?2cos2?x(??0)的最小正周期为．
3（Ⅰ）求?的值．
?（Ⅱ）若函数y?g(x)的图像是由y?f(x)的图像向右平移个单位长度得到，求y?g(x)的单
2调增区间．
17.（本小题12分）某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移
54栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：
65（Ⅰ）至少有1株成活的概率； （Ⅱ）两种大树各成活1株的概率．
18.（本小题12分）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD?平面ABCD，
NB?平面ABCD，且MD=NB=1，E为BC的中点
（Ⅰ）求异面直线NE与AM所成角的余弦值
（Ⅱ）在线段AN上是否存在点S，使得ES?平面AMN？AS的长；若不存在，请说明理由
AMN若存在，求线段DEBC1n?119.（本小题12分）在数列{an}中，a1?1,an?1?(1?)an?n
n2a（I）设bn?n，求数列{bn}的通项公式
n（II）求数列{an}的前n项和Sn
20. （本小题12分） 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，以两个焦点和短轴的两个端
点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q）. （Ⅰ）求椭圆C的方程;
（Ⅱ）设点P是椭圆C的左准线与x轴的交点，过点P的直线l与椭圆C相交于M,N两点，当线段MN的中点落在正方形Q内（包括边界）时，求直线l的斜率的取值范围。
21.（本小题15分）已知函数f(x)?ln(ax?1)?1?x,x?0，其中a?0 1?x???若f(x)在x=1处取得极值，求a的值；
????求f(x)的单调区间；
（Ⅲ）若f(x)的最小值为1，求a的取值范围。
参考答案与评分标准
一、选择题： 题号 答案 二、填空题:
555?111．???,?4????4,1?； 12．??3,2??； 13．16； 14．y?2sin(2x?6)． 15．(选做题)(1) 三、解答题： 16.解析：
221 B 2 D 3 B 4 C 5 A 6 D 7 C 8 A 9 10 C B ； (2) ?1,???； (3) 60?．
f(x)?(sin?x?cos?x)2?2cos2?x?sin2?x?cos2?x?sin2?x?1?2cos2?x?sin2?x?cos2?x?2?2sin(2?x?)?2
42?2?3?依题意得，故?的最小正周期为. 2?32????5??（Ⅱ）依题意得: g(x)?2sin?3(x?)???2?2sin(3x?)?2
24?4?5??≤2k??(k?Z)
2422?27?(k?Z)\\ 解得k??≤x≤k??343122?27?](k?Z) 故y?g(x)的单调增区间为: [k??,k??3431217．（本小题12分）
由2k???≤3x?解: 设Ak表示第k株甲种大树成活, k?1,2 ; 设Bl表示第l株乙种大树成活, l?1,2则
54A1,A2,B1,B2独立,且P(A1)?P(A2)?,P(B1)?P(B2)?
65（Ⅰ）至少有1株成活的概率为:
11899 1?P(A1?A2?B1?B2)?1?P(A1)?P(A2)?P(B1)?P(B2)?1?()2()2?
65900（Ⅱ）由独立重复试验中事件发生的概率公式知,两种大树各成活1株的概率为:
1084151141P?C2?C2???
665536254518．（本小题12分）
解析：（Ⅰ）在如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标D?xyz
1依题意，得D(0,0,0)A(1,0,0)M(0,0,1),C(0,1,0),B(1,1,0),N(1,1,1),E(,1,0)。
2?????????1?NE?(?,0,?1),AM?(?1,0,1)
2??????????????????NE?AM10????????， ?cos?NE,AM??????10|NE|?|AM|所以异面直线NE与AM所成角的余弦值为10. 10（Ⅱ）假设在线段AN上存在点S，使得ES?平面AMN. ?????????????AN?(0,1,1),可设AS??AN?(0,?,?),
交大附属中学“华约”自主招生强化训练试题二
