---------
全国中考数学压轴题及答案精选
1.（12分）（2013?白银）如图，在直角坐标系 图象与x轴相交于
O、A两点．
xOy中，二次函数 y=x2+（2k﹣1）x+k+1的
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点 标；
（3）对于（2）中的点
B，在此抛物线上是否存在点
P，使∠POB=90°？若存在，求出点
P
B，使△AOB的面积等于 6，求点 B的坐
的坐标，并求出△ POB的面积；若不存在，请说明理由．
参考答案： 考 点： 分
二次函数综合题．
（1）将原点坐标代入抛物线中即可求出 k的值，也就得出了抛物线的解析式．
A点的坐标，也就求出了
析： （2）根据（1）得出的抛物线的解析式可得出
OA的长，根
据△OAB的面积可求出 B点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的 线的解析式中即可求出
B点的坐标，然后根据
B点纵坐标代入抛物
B点在抛物线对称轴的右边来判断得出
P点的坐标特
OB，OP
的B点是否符合要求即可． （3）根据B点坐标可求出直线 点，代入二次函数解析式可得出 的长度即可求出△BOP的面积． 解：①∵函数的图象与
OB的解析式，由于OB⊥OP，由此可求出
P点的坐标．求△POB的面积时，可先求出
解
x轴相交于O，
答： ∴0=k+1，
∴ k=﹣1， ∴ y=x2﹣3x，
②假设存在点 B，过点B做BD⊥x轴于点D， ∵△AOB的面积等于 6，
∴ AO?BD=6，当0=x2﹣3x，
x（x﹣3）=0， 解得：x=0或3， ∴ AO=3， ∴ BD=4 即 4=x2﹣3x，
解得：x=4或x=﹣1（舍去）． 又∵顶点坐标为：（
1.5，﹣2.25）．
1
---------- ---------
∵ 2.25＜4，
∴ x轴下方不存在B点，∴点B的坐标为：（4，4）；
③∵点B的坐标为：（ 4，4），
∴∠BOD=45°，BO=
=4，
当∠POB=90°， ∴∠POD=45°，
设 P点横坐标为：﹣x，则纵坐标为：x2﹣3x， 即﹣x=x2﹣3x，解得x=2或x=0， ∴在抛物线上仅存在一点
P（2，﹣2）．
∴OP=
=2，
使∠POB=90°，
∴△POB的面积为： PO?BO=×4
×2 =8．
点本题考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点、图象面积求法等知识．利用已评：知进行分类讨论得出符合要求点的坐标是解题关键．
2
---------- ---------
2.（12分）（2013兰州）如图，在平面直角坐标系 为xOy
中，A、B
x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点
的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分
3
为（0，2），点M是抛物线C2：的顶点．
（1）求A、B两点的坐标；
A、C、B的抛物线
C2组合成一条
y
D
M
封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点 C的坐标
y
mx
2
2mx
3m（m＜0）
A O
Bx
（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点 P，使得△PBC的面积
C
第 28题图
最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由； （3）当△BDM为直角三角形时，求 m的值．
参考答案：
2. （本小题满分12分）
y
M
(1)
解：令y=0，则mx
2
2
2mx 3m
30
0
D
3
2
x
∵m＜0，∴
2x
解得：
x
1
1，x2
A O
Bx
∴A（1 ，0）、B（3，0） 分
,,,,,,,,,,,
C
（2）存在．
∵设抛物线C1的表达式为
－
把C（0，
3
y a（x 1）(x
3)（a
0
），
a 1
2）代入可得 2
y
∴Ｃ1：
1x2 2
x n 3
3
2
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
4分
设P（，2 ∴ S △
n
1n2
2）
=
PBC S △ POC + S△BOP – S△BOC
3 3227
（ n） =4 2 16
a ∵ 分
3
n
,,,,,,,,,,,,, 3
27
6分
4 <0,∴当
2
时,
S△PBC最大值为
16
．
,,,,,,,,,,,,,,
7
（3）由C2可知：B（3，0），D（0， 9m2 9 16m24
，BM2= BD2= ∵∠MBD<90°,
3m），M（1， 4m）
m2 1
，DM2= ，
∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况．
3
---------- ---------
当∠BMD=90°时，BM2+DM2=BD2，m1
解得： 分
16m2
4＋m2
1=9m2
9
2 2,
m2
2
2
(舍去) ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
9
当∠BDM=90°时，BD2+DM2=BM2，解得：分
9m2
9＋m2
1=16m2
4
m1
1，m2
1
(舍去)
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
11
综上
m
m
2
1，
2
时，△BDM为直角三角形．
,,,,,,,,,,,,, 12分
3.（14分）（2013广州）已知抛物线 且抛物线不经过第三象限。 （ 1）使用a、c表示b;
ax2bxc(a0,ac)
y1= 过点A(1,0)，顶点为B，
（ 2）判断点B所在象限，并说明理由；
c
（3）若直线 y2=2x+m经过点B，且于该抛物线交于另一点
,b 8
),求当x≥1时y1的
C(a
取值范围。
参考答案：
3、（1）
b
ac
c
（2）B在第四象限。理由如下
x11,x2
,ac
a
所以抛物线与 x轴有两个交点
∵
又因为抛物线不经过第三象限
所以
a
0，且顶点在第四象限
C(,b a
c
8)
，且在抛物线上，∴
（3）∵
b80,b8,ac8,
4
把B、C两点代入直线解析式易得 解得c
ca
6,a 2
画图易知，C在A的右侧，
4
---------- ---------
∴当
x1
y1
时，
4acb2
4a
2
4.（9分）（2013深圳福田）如图12，在平面直角坐标系中，圆 与
x
D与
y
轴相切于点C(0,4) ，
轴相交于A、B两点，且AB=6.
，
ACB=
（1）则D点的坐标是（ （2）sin
（3）设抛物线的顶点为
），圆的半径为 ；
；
；经过C、A、B三点的抛物线的解析式 F,证明直线FA与圆D相切；
（4）在x轴下方的抛物线上，是否存在一点 出
N，使
CBN
面积最大，最大值是多少，并求
N
点坐标.
参考答案： 4.解：
（1）（5，4）------------
1 分
分
图12
5------------ 2
3
ACB=
（2）sin
5
y
1x2 4
5x 2
4
--------------4
， 分
P
N
（3）证明：因为 D为圆心，A在圆周上，DA=r=5,故只需证明
DAF90
，
15 4，
(5, 9)
抛物线顶点坐标：F
DF
,
4 9 25 ,AF
4
4
32 ( 9 )2
4
4
（5分）
5
----------
中考数学压轴题与答案精选
