为零的数,然后
被称为向量组
线性相关.如果没有这样的
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,换句话就是向量等式当且仅当
才成立,就称向量组
是线性无关的.
16、可逆矩阵 可逆矩阵是线性代数中的一种矩阵，其定义为在线性代数中，给定一个n阶方阵A，若存在一n阶方阵B，使得AB?BA?In（或AB?In、BA?In 满足任意一
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个），其中In 为n阶单位矩阵，则称A 是可逆的，且B是A的逆矩阵，记作A?1。 2.2 矩阵函数的定义
类比于代数中函数的定义，能知道定义域和值域都属于方阵的函数称为矩阵函数。矩阵函数的定义方式有很多种，为了便于进一步的研究，本文主要从经常使用的多项式和幂级数来定义矩阵函数。
矩阵函数的多项式表示：
设A??aij?n?n是数域F上的一个n阶矩阵，简记为A?Fn?n，
f????a0?a1??a2?2?…+an?n?an?0?是数域F上的一个n次多项式，简记为f????P??,F?，将此多项式中?i换成Ai，其中?0?1换成单位矩阵I，则矩阵函数f?A?2n可以定义为：f?A??a0I?a1A?a2A?…+anA
矩阵函数的幂级数表示： 设A?Cn?nk，如果一元函数f?z?能够展开为z的幂级数f?z?=?ckz，?z? k?0?其中R?0表示该幂级数的收敛半径.当n阶矩阵A的谱半径?(A)?R时，把收敛的矩 k阵幂级数?ckA的和称为矩阵函数，记为f?A?，即f?A?=?ckA。 kk?0k?0??2.3 一些矩阵函数的重要性质及推论 性质1：f?A?和A可交换，即f?A?A?Af?A? 证 设纯量多项式f????a0?a1??a2?2?…+an?n，则矩阵多项式f?A?为 f?A??a0I?a1A?a2A2?…+anAn，于是 f?A?A=?a0I?a1A?a2A2?…+anAn?A=a0A?a1A2?a2A3?…+anAn?1 ?A?a0I?a1A?a2A2?…+anAn? ?fgg??A??f?A?g?A? 性质2：函数和（或差）的矩阵函数等于矩阵函数的和（或差），即 ?f?g??A??f?A??g?A? 性质3：函数积的矩阵函数等于矩阵函数的积，即 8 ?fgg??A??f?A?g?A? 性质4：若A:B,则f?A?:f?B?，即若B?T?1AT，则 f?B??T?1f?A?T 证 由于A:B，故存在可逆矩阵T?Cn?n，使得B?T?1AT，若f???是纯量多项式，则f?B??f?T?1AT??T?1f?A?T,即f?A?:f?B? 性质5：设A?Cn?n，B?Cn?n，且AB?BA,函数f?z?在??A?上有定义，g?z?在??B?上有定义，则f?A?g?B??g?B?f?A? 证 设A，B的最小多项式的次数分别为k和l，则存在次数不超过k?1的多项式??z?和次数不超过l?1的多项式??z?，使得f?A????A?,g?B????B? 由于AB?BA，因此对任意正整数i，j，有AiBj?BjAi，从而A的多项式与B的多项式相乘时可交换，即得 f?A?g?B????A???B????B???A??g?B?f?A? 性质6：设A?Cn?n，A的特征值都是正实数，f?z?是系数为非负实数的幂级数?ckAkk?0?的和函数，它的收敛半径r???A?，则trf?A??0，且trf?A??0?f?z??0 证 因为A的特征值都是正实数，且f?z?是系数为非负实数的幂级数?ckAk的和函 k?0?数，因此f?A?的特征值为f??i???ck?ik?0?i?1,2,…，n?，其中?k?i?1,2,…,n?是A的 k?0?特征值，所以trf?A???f??i??0 i?1?若f?z?不恒为0，则f??i???ck?ik?0?i?1,2,…,n?，从而trf?A??0； k?0?若f?z?恒为0，则f??i??0?i?1,2,…,n?，从而trf?A??0。 T性质7：设A?Cn?n，函数f?z?在??A?上有定义，则?fA?fA????? ??T9 证 由于A与AT相似，因此，A与AT有相同的谱，也有相同的最小多项式，由f?z?在 ??A?上有定义，则f?z?在??AT?上有定义，且f?z?在A与AT的谱上的值相同，因此可 取相同的多项式??z?，使得 TTf?AT????AT?????A????fA???? ???f?A????A?,f?AT????AT?.所以 性质8：设A是对称矩阵，函数f?z?在??A?上有定义，则f?A?是对称矩阵 性质9：设A是实对称矩阵，实函数f?z?在??A?上有定义，且对A的任一特征值?，有f????0，则f?A?是正定矩阵。 证 由f?z?为实函数，A是实对称矩阵，根据性质8知，f?A?是实对称矩阵，又因为 f?A?的特征值为f??i??0?i?1,2,…,n?，其中?i?i?1,2,…,n?是A的特征值，所以f?A?是正定矩阵。 性质10：设A是反对称矩阵，函数f?z?在??A?上有定义，且为奇函数，则f?A?是反对称矩阵。 T证 由性质7得??f?A????f?A?=f??A?,又由于f?z?为奇函数，f??z???f?z?，所 TT以??f?A????f?A?=f??A???f?A? T即f?A?是反对称矩阵。 2.4 常用的矩阵函数 在矩阵理论中，有许多不同种类的矩阵函数。经常使用的矩阵函数有矩阵的指数函数和矩阵的三角函数。以下是矩阵函数的基本性质： k根据上面给出的用幂级数定义的矩阵函数，可以得到f(A)??akA。根据这个定义， k?0?可以得到和数学分析中一些函数相似的矩阵函数，可以通过以前学过的高等数学知识类比现在得到的矩阵函数的性质。如：eA，sinA,cosA,ln(I?A)。 矩阵指数函数eA的基本性质： (1)若AB?BA，则eAeB?eBeA?eA?B; 10
【完整版】矩阵函数以及应用毕业论文设计
