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【完整版】矩阵函数以及应用毕业论文设计

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为零的数,然后

被称为向量组

线性相关.如果没有这样的

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,换句话就是向量等式当且仅当

才成立,就称向量组

是线性无关的.

16、可逆矩阵 可逆矩阵是线性代数中的一种矩阵,其定义为在线性代数中,给定一个n阶方阵A,若存在一n阶方阵B,使得AB?BA?In(或AB?In、BA?In 满足任意一

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个),其中In 为n阶单位矩阵,则称A 是可逆的,且B是A的逆矩阵,记作A?1。 2.2 矩阵函数的定义

类比于代数中函数的定义,能知道定义域和值域都属于方阵的函数称为矩阵函数。矩阵函数的定义方式有很多种,为了便于进一步的研究,本文主要从经常使用的多项式和幂级数来定义矩阵函数。

矩阵函数的多项式表示:

设A??aij?n?n是数域F上的一个n阶矩阵,简记为A?Fn?n,

f????a0?a1??a2?2?…+an?n?an?0?是数域F上的一个n次多项式,简记为f????P??,F?,将此多项式中?i换成Ai,其中?0?1换成单位矩阵I,则矩阵函数f?A?2n可以定义为:f?A??a0I?a1A?a2A?…+anA

矩阵函数的幂级数表示: 设A?Cn?nk,如果一元函数f?z?能够展开为z的幂级数f?z?=?ckz,?z?

k?0?其中R?0表示该幂级数的收敛半径.当n阶矩阵A的谱半径?(A)?R时,把收敛的矩

k阵幂级数?ckA的和称为矩阵函数,记为f?A?,即f?A?=?ckA。

kk?0k?0??2.3 一些矩阵函数的重要性质及推论

性质1:f?A?和A可交换,即f?A?A?Af?A?

证 设纯量多项式f????a0?a1??a2?2?…+an?n,则矩阵多项式f?A?为

f?A??a0I?a1A?a2A2?…+anAn,于是

f?A?A=?a0I?a1A?a2A2?…+anAn?A=a0A?a1A2?a2A3?…+anAn?1

?A?a0I?a1A?a2A2?…+anAn? ?fgg??A??f?A?g?A?

性质2:函数和(或差)的矩阵函数等于矩阵函数的和(或差),即

?f?g??A??f?A??g?A?

性质3:函数积的矩阵函数等于矩阵函数的积,即

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?fgg??A??f?A?g?A?

性质4:若A:B,则f?A?:f?B?,即若B?T?1AT,则

f?B??T?1f?A?T

证 由于A:B,故存在可逆矩阵T?Cn?n,使得B?T?1AT,若f???是纯量多项式,则f?B??f?T?1AT??T?1f?A?T,即f?A?:f?B?

性质5:设A?Cn?n,B?Cn?n,且AB?BA,函数f?z?在??A?上有定义,g?z?在??B?上有定义,则f?A?g?B??g?B?f?A?

证 设A,B的最小多项式的次数分别为k和l,则存在次数不超过k?1的多项式??z?和次数不超过l?1的多项式??z?,使得f?A????A?,g?B????B?

由于AB?BA,因此对任意正整数i,j,有AiBj?BjAi,从而A的多项式与B的多项式相乘时可交换,即得

f?A?g?B????A???B????B???A??g?B?f?A? 性质6:设A?Cn?n,A的特征值都是正实数,f?z?是系数为非负实数的幂级数?ckAkk?0?的和函数,它的收敛半径r???A?,则trf?A??0,且trf?A??0?f?z??0

证 因为A的特征值都是正实数,且f?z?是系数为非负实数的幂级数?ckAk的和函

k?0?数,因此f?A?的特征值为f??i???ck?ik?0?i?1,2,…,n?,其中?k?i?1,2,…,n?是A的

k?0?特征值,所以trf?A???f??i??0

i?1?若f?z?不恒为0,则f??i???ck?ik?0?i?1,2,…,n?,从而trf?A??0;

k?0?若f?z?恒为0,则f??i??0?i?1,2,…,n?,从而trf?A??0。

T性质7:设A?Cn?n,函数f?z?在??A?上有定义,则?fA?fA????? ??T9

证 由于A与AT相似,因此,A与AT有相同的谱,也有相同的最小多项式,由f?z?在

??A?上有定义,则f?z?在??AT?上有定义,且f?z?在A与AT的谱上的值相同,因此可

取相同的多项式??z?,使得

TTf?AT????AT?????A????fA???? ???f?A????A?,f?AT????AT?.所以

性质8:设A是对称矩阵,函数f?z?在??A?上有定义,则f?A?是对称矩阵 性质9:设A是实对称矩阵,实函数f?z?在??A?上有定义,且对A的任一特征值?,有f????0,则f?A?是正定矩阵。

证 由f?z?为实函数,A是实对称矩阵,根据性质8知,f?A?是实对称矩阵,又因为

f?A?的特征值为f??i??0?i?1,2,…,n?,其中?i?i?1,2,…,n?是A的特征值,所以f?A?是正定矩阵。

性质10:设A是反对称矩阵,函数f?z?在??A?上有定义,且为奇函数,则f?A?是反对称矩阵。

T证 由性质7得??f?A????f?A?=f??A?,又由于f?z?为奇函数,f??z???f?z?,所

TT以??f?A????f?A?=f??A???f?A?

T即f?A?是反对称矩阵。 2.4 常用的矩阵函数

在矩阵理论中,有许多不同种类的矩阵函数。经常使用的矩阵函数有矩阵的指数函数和矩阵的三角函数。以下是矩阵函数的基本性质:

k根据上面给出的用幂级数定义的矩阵函数,可以得到f(A)??akA。根据这个定义,

k?0?可以得到和数学分析中一些函数相似的矩阵函数,可以通过以前学过的高等数学知识类比现在得到的矩阵函数的性质。如:eA,sinA,cosA,ln(I?A)。

矩阵指数函数eA的基本性质: (1)若AB?BA,则eAeB?eBeA?eA?B;

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【完整版】矩阵函数以及应用毕业论文设计

为零的数,然后被称为向量组线性相关.如果没有这样的6,换句话就是向量等式当且仅当才成立,就称向量组是线性无关的.16、可逆矩阵可逆矩阵是线性代数中的一种矩阵,其定义为在线性代数中,给定一个n阶方阵A,若存在一n阶方阵B,使得AB?BA?In(或AB?In、BA?In满足任意一<
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