直线与圆锥曲线的位置关系 【背一背重点知识】
1.直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,通常将直线l的方程Ax+By+C=0(A、B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x,y)=0,消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量
?Ax+By+C=0,?
y)的一元方程.即?消去y后得ax2+bx+c=0.通过这个方程解的情况判断
??Fx,y=0,
直线与圆锥曲线的位置关系,具体如下表所示。 方程ax2+bx+c=0的解. a=0 b=0 []交点个数 []l与C的关系 相交 无解(含双曲线的渐近线 有一解(含与双曲线的渐近线的平行线或抛物线的对称轴平行的直线) 无公共点 一个交点 b≠0 a≠0 Δ>0 Δ=0 Δ<0 两个不等的解 两个不等的解 无实数解 两个交点 一个交点 无公共点 相交 相切 相离 2.圆锥曲线的弦长 (1)圆锥曲线的弦长的定义:直线与圆锥曲线相交有两个交点时,这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段),线段的长就是弦长.
(2)圆锥曲线的弦长的计算:
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A,B两点,A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x2-x12+y2-y12=1+k2|x1-x2|=
11+2·|y-y|.(抛物线k12
的焦
2p
点弦长|AB|=x1+x2+p=2,θ为弦AB所在直线的倾斜角).
sinθ【讲一讲提高技能】
1、 利用直线与圆锥曲线的交点个数求参数
利用直线与圆锥曲线的交点个数求参数时,联立方程并消元转化成一元方程,此时注意观察方程的二次项系数是否为0,若为0,即方程为一次方程;若不为0,则方程解的个数
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转化为判别式与0的大小关系求解。
例1【云南省昆明三中2013届高三高考适应性月考(三)理】已知F1(?1,0)、F2(1,0),圆F2:(x?1)?y?1,一动圆在y轴右侧与y轴相切,同时与圆F2相外切,此动圆的圆心轨迹为曲线C,曲线E是以F1,F2为焦点的椭圆.
(1)求曲线C的方程;
(2)设曲线C与曲线E相交于第一象限点P,且PF1?227,求曲线E的标准方程; 3(3)在(1)、(2)的条件下,直线l与椭圆E相交于A,B两点,若AB的中点M在曲线C上,求直线l的斜率k的取值范围.
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16k(3?4k2)4km3m2将M(?,)代入y?4x 整理得m?? ②…10分 2293?4k3?4k将②代入①得16k3?4k 令
22?2??81
3 8t?4k2?t?0?则64t2?192t?81?0 ?0?t?66且k?0 ………12分 ?k?88??2、利用弦长公式求解直线与圆锥曲线的弦长问题
当直线(斜率为k)与圆锥曲线交于点A(x1,y1),B(x2,y2)时,则|AB|=1+k2·|x1-x2|=
11+2|y1-y2|,而|x1-x2|=x1+x22-4x1x2,可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元k
后得到的一元二次方程,利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式,然后再进行整体代入求解.
例2【湖北省2014届孝感高中、黄冈中学等八所重点中学高三联考】已知椭圆C:
(1) 求椭圆C的方程;
(2) 设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为
的最大值。
,求△AOB面积
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3、利用点差法求解圆锥曲线问题
点差法是一种常见的设而不求的方法,在解答平面解析几何的某些问题时,合理的运用点差法,可以有效减少解题的运算量,达到优化解题过程的目的。点差法的基本过程为:设点、代入、作差、整理代换。
例3【河南省豫东、豫北十所名校2014届高三上学期第四次联考试题】 在平面直角坐标系
x2y2xOy中,已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)与直线l:x?m(m?R),四点
ab(3,?1),(?22,0),(?3,1),
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(?3,?3)中有三个点在椭圆C上,剩余一个点在直线l上. (I)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若动点P在直线l上,过P作直线交椭圆C于M,N两点,使得PM?PN,再过P作直线l'?MN.证明直线l'恒过定点,并求出该定点的坐标.
分析:由椭圆的的性质可判断出点的位置,并求出椭圆的方程;利用点差法表示出直线 MN的斜率,由l'?MN得出直线l'的斜率,从而写出直线l'的方程,通过直线方程求出定点坐标。
【练一练提升能力】
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1. 【山东省青岛一中2013届高三上学期调研考试】已知椭圆2+2=1(a>b>0)的离心率e
ab
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2014年高考数学备考中等生百日捷进提升系列-专题05 解析几何解答题(综合篇)-(解析版)
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