4.2.1 直线与圆的位置关系
（一）导入新课
思路1.一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70 km处,受影响的范围是半径长为30 km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40 km处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响？
图2
分析：如图2,以台风中心为原点O,以东西方向为x轴,建立直角坐标系,其中,取10 km为单位长度.
22
则台风影响的圆形区域所对应的圆心为O的圆的方程为x+y=9；
轮船航线所在的直线l的方程为4x+7y-28=0.
问题归结为圆心为O的圆与直线l有无公共点.因此我们继续研究直线与圆的位置关系.
（二）推进新课、新知探究、提出问题
①过圆上一点可作几条切线？如何求出切线方程？ ②过圆外一点可作几条切线？如何求出切线方程？ ③过圆内一点可作几条切线？
④你能概括出求圆切线方程的步骤是什么吗？ ⑤如何求直线与圆的交点？
⑥如何求直线与圆的相交弦的长?
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讨论结果：①过圆上一点可作一条切线,过圆x+y=r上一点(x0,y0)的切线方程是
2
x0x+y0y=r；
2222
过圆(x-a)+(y-b)=r上一点(x0,y0)的切线方程是(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r.
②过圆外一点可作两条切线,求出切线方程有代数法和几何法.代数法的关键是把直线与圆相切这个几何问题转化为联立它们的方程组只有一个解的代数问题.可通过一元二次方程有一个实根的充要条件——Δ=0去求出k的值,从而求出切线的方程.用几何方法去求解,要充分利用直线与圆相切的几何性质,圆心到切线的距离等于圆的半径(d=r),求出k的值.
③过圆内一点不能作圆的切线.
④求圆切线方程,一般有三种方法,一是设切点,利用①②中的切线公式法;二是设切线的斜率,用判别式法;三是设切线的斜率,用图形的几何性质来解,即圆心到切线的距离等于圆的半径(d=r),求出k的值.
⑤把直线与圆的方程联立得方程组,方程组的解即是交点的坐标.
⑥把直线与圆的方程联立得交点的坐标,结合两点的距离公式来求;再就是利用弦心距、弦长、半径之间的关系来求.
（三）应用示例
思路1
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例1 过点P(-2,0)向圆x+y=1引切线,求切线的方程.
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图3
解:如图3,方法一:设所求切线的斜率为k,则切线方程为y=k(x+2),因此由方程组
??y?k(x?2),222
得x+k(x+2)=1. ?22??x?y?1,上述一元二次方程有一个实根,
3Δ=16k-4(k+1)(4k-1)=12k-4=0,k=±,
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2
2
2
所以所求切线的方程为y=±
3(x+2). 3方法二:设所求切线的斜率为k,则切线方程为y=k(x+2),由于圆心到切线的距离等于圆的半径(d=r),所以d=
|2k|1?k2=1,解得k=±
3. 3所以所求切线的方程为y=±
3(x+2). 3方法三：利用过圆上一点的切线的结论.可假设切点为(x0,y0),此时可求得切线方程为x0x+y0y=1.
然后利用点(-2,0)在切线上得到-2x0=1,从中解得x0=-
1. 2再由点(x0,y0)在圆上,所以满足x0+y0=1,既
22
312
+y0=1,解出y0=±.
243?0y?02?这样就可求得切线的方程为,
1x?2??22?整理得y=±
3(x+2). 3点评:过圆外一点向圆可作两条切线；可用三种方法求出切线方程,其中以几何法“d=r”比较好(简便).
变式训练
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已知直线l的斜率为k,且与圆x+y=r只有一个公共点,求直线l的方程.
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活动：学生思考,观察题目的特点,见题想法,教师引导学生考虑问题的思路,必要时给予提示,直线与圆只有一个公共点,说明直线与圆相切.可利用圆的几何性质求解.
图4
解:如图4,方法一:设所求的直线方程为y=kx+b,由圆心到直线的距离等于圆的半径,得 d=
|b|1?k2=r,∴b=±r1?k,求得切线方程是y=kx±r1?k.
2
2
2
22方法二:设所求的直线方程为y=kx+b,直线l与圆x+y=r只有一个公共点,所以它们组
??y?kx?b,222
成的方程组只有一组实数解,由?2,得x+k(x+b)=1,即22??x?y?r2222
x(k+1)+2kbx+b=1,Δ=0得b=±r1?k,求得切线方程是y=kx±r1?k.
22
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例2 已知圆的方程为x+y+ax+2y+a=0,一定点为A(1,2),要使过定点A(1,2)作圆的切线有两条,求a的取值范围.
活动：学生讨论,教师指导,教师提问,学生回答,教师对学生解题中出现的问题及时处理,利用几何方法,点A(1,2)在圆外,即到圆心的距离大于圆的半径.
2a2a24?3a解:将圆的方程配方得(x+)+(y+1)=,圆心C的坐标为(－,－1),半径r=2244?3a2, 4条件是4－3a＞0,过点A(1,2)所作圆的切线有两条,则点A必在圆外, 即
2
a24?3a22(1?)?(2?1)＞.
242??a?a?9?0,化简,得a+a+9＞0,由? 2??4?3a?0,2
2323解得－＜a＜,a∈R.
33所以－
2323＜a＜. 33第3页 共9页
高中数学必修二 4.2.1 直线与圆的位置关系(2)教案 新人教A版必修2
