题号 分数
2007年河南省普通高等学校
选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试 《高等数学》试卷 一 二 三 四 五 六 总分 核分人
一. 单项选择题（每题2分，共计50分）
在每小题的备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后 面的括号内.不选、错选或多选者，该题无分. 1.集合的所有子集共有 {3,4,5}（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
f(x)?arcsin(x?1)?3?x2.函数的定义域为
（ ）
A. [0,3] B. [0,2] C. [2,3] D. [1,3]
3. 当x?0时，与x不等价的无穷小量是 ( )
A.2x B.sinx C.ex?1 D.ln(1?x)
14.当 是函数 的 x?0f(x)?arctanx（ ）
A.连续点 B. 可去间断点 C.跳跃间断点 D. 第二类间断点
f(1?2h)?f(1?h)5. 设f(x) 在x?1处可导，且f?(1)?1，则lim的值为
h?0h（ ）
A.-1 B. -2 C. -3 D.-4 6.若函数f(x)在区间(a,b)内有f?(x)?0,f??(x)?0，则在区间(a,b)内，f(x)图形 （ ）
A．单调递减且为凸的 B．单调递增且为凸的 C．单调递减且为凹的 D．单调递增且为凹的
7.曲线y?1?x3的拐点是 （ ） A. (0,1) B. (1,0) C. (0,0) D. (1,1)
x2?28.曲线f(x)?的水平渐近线是 （ ） 23x2211A. y? B. y?? C. y? D. y??
3333?9. limx?0x20tantdtx4? （ ）
1 C.2 D. 1 2 10.若函数f(x)是g(x)的原函数，则下列等式正确的是 （ ）
A. 0 B.
A.?f(x)dx?g(x)?C B. ?g(x)dx?f(x)?C C.?g?(x)dx?f(x)?C D. ?f?(x)dx?g(x)?C
11.?cos(1?3x)dx? （ ）
11A.?sin(1?3x)?C B. sin(1?3x)?C
33C. ?sin(1?3x)?C D. 3sin(1?3x)?C
12. 设y??(t?1)(t?3)dt，则y?(0)? （ ）
0x A.-3 B.-1 C.1 D.3 13. 下列广义积分收敛的是 （ ）
??dx??dx A.? B. ?
11xx??dx1dxC.? D. ? 10xxxx114. 对不定积分?2dx，下列计算结果错误是 2sinxcosx（ ）
1 A. tanx?cotx?C B. tanx??C
tanxC. cotx?tanx?C D. ?cot2x?C
15. 函数y?x2在区间[1,3]的平均值为 （ ）
2613A. B. C. 8 D. 4
3316. 过Oz轴及点(3,?2,4)的平面方程为 （ ） A. 3x?2y?0 B. 2y?z?0 C. 2x?3y?0 D. 2x?z?0
?x2z2?1??17. 双曲线?3绕z轴旋转所成的曲面方程为 4?y?0?（ ）
x2y2?z2x2?y2z2??1 B. ??1 A.
3434(x?y)2z2x2(y?z)2??1 D. ??1 C.
34343?xy?9? （ ）18.lim
x?0xyy?011 B. ? C.0 D. 极限不存在 66?z? （ ） 19.若z?xy，则
?y(e,1) A.
1 A. B. 1 C. e D. 0
e?z20. 方程 z2y?xz3?1所确定的隐函数为z?f(x,y)，则? （ ）
?xz2z2zzA. B. C. D.
2y?3xz3xz?2y2y?3xz3xz?2y21. 设C为抛物线y?x2上从(0,0)到(1,1) 的一段弧，则?2xydx?x2dy?
C （ ） A.-1 B.0 C.1 D.2
22.下列正项级数收敛的是 （ ）
??11A. ? B. ?
n?23n?1n?2nlnn??11C. ? D. ?2nn?2n(lnn)n?2nn?123.幂级数?n?1(x?1)n的收敛区间为 （ ）
n?03 A.(?1,1) B.(?3,3) C. (?2,4) D.(?4,2)
24. 微分y???3y??2y?e?xcosx特解形式应设为y?? （ ） A. Cexcosx B. e?x(C1cosx?C2sinx) C. xe?x(C1cosx?C2sinx) D. x2e?x(C1cosx?C2sinx) 25.设函数y?f(x)是微分方程y???y??e2x的解，且f?(x0)?0，则f(x)在x0处（
）
A.取极小值 B. 取极大值 C.不取极值 D. 取最大值 得分
评卷人
二、填空题（每题2分，共30分）
26.设f(x)?2x?5，则f[f(x)?1]?_________.
2n?____________. 27.limn??n!?3e4x，x?0? 28.若函数f(x)??在x?0处连续，则a?____________. a?2x?，x?02?29.已知曲线y?x2?x?2上点M处的切线平行于直线y?5x?1，则点M的坐标为 ________
30.设f(x)?e2x?1，则 f(2007)(0)?_________
?x?3t?1dy?__________ 31.设?，则2dxt?1?y?2t?t?132. 若函数f(x)?ax2?bx在x?1处取得极值2，则a?______，b?_____
33. ?1f?(x)dx? _________ f(x)34．?1?x2dx?_________
0?????35.向量a?3i?4j?k的模|a|?________
36. 已知平面?1：x?2y?5z?7?0与平面?2：4x?3y?mz?13?0垂直，则m?______
37.设f(x?y,xy)?x2?y2，则f(x,y)?________ 38.已知I??220dy?1?y2yf(x,y)dx，交换积分次序后，则I?_______
??111???39.若级数?收敛，则级数???u?的和为 _______ uun?1nn?1?nn?1??40.微分方程y???2y??y?0的通解为________
得评卷人 分 三、判断题（每小题2分，共10分） 你认为正确的在题后括号内划“√”，反之划“×”.
41.若数列?xn?单调，则?xn?必收敛.
( )
42.若函数f(x)在区间?a,b?上连续，在(a,b)内可导，且f(a)?f(b)，则一定不存在，使. ??(a,b)f?(?)?0( )
x?sinx由洛比达法则1?cosxsinx43.. lim??????lim?lim??1x??x?sinxx??1?cosxx???sinx( )
ln230??1?e?2xdx?ln244..
02( )
45.函数f(x,y)在点P(x,y)处可微是f(x,y)在P(x,y)处连续的充分条件.( )
得评卷人
分 四、计算题（每小题5分，共40分）
46．求lim?xsinx.
x?01?xdy的导数. 1?xdx48.求不定积分?[e2x?ln(1?x)]dx.
47.求函数y?x2?349.计算定积分??02?2cos2xdx .
50.设z?f(exsiny,3x2y)，且f(u,v)为可微函数，求dz.
51．计算??x2dxdy，其中D为圆环区域：1?x2?y2?4.
D2x展开为x的幂级数，并写出收敛区间. 24?x 53．求微分方程x2dy?(y?2xy?x2)dx?0的通解. 得评卷人 分 五、应用题（每题7分，共计14分） 54. 某工厂欲建造一个无盖的长方题污水处理池，设计该
池容积为V立方米，底面造价每平方米a元，侧面造价每平方
米b元,问长、宽、高各为多少米时，才能使污水处理池的造价最低？
55. 设平面图形D由曲线y?ex,直线y?e及y轴所围成.求： （1）平面图形D的面积;
(2) 平面图形D绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积.
得评卷人
六、证明题（6分） 分
56.若f?(x)在[a,b]上连续，则存在两个常数m与M，对
于满足a?x1?x2?b的任意两点x1,x2，证明恒有
m(x2?x1)?f(x2)?f(x1)?M(x2?x1).
2007年河南省普通高等学校
选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试
(答案)
52．将
一
1解：子集个数2n?23?8?D。
??1?x?1?12 解： ??0?x?2?B。
?3?x?03解：根据常用等价关系知，只有2x与x比较不是等价的。应选A。
1?1?4 解：lim?arctan? ；lim?arctan???C。
x?0x?0x2x2f(1?2h)?f(1?h)5 解： lim?lim[?2f?(1?2h)?f?(1?h)??3f?(1)??3?C 。
h?0h?0h6 解：f?(x)?0?单调增加；f??(x)?0?凸的。应选B。 7 解：y???6x?0?x?0?(0,1)，应选A 。
x2?211??y??C 。 8 解：limx???3x233?9 解：limx22xtanx21?lim??B 。
x?0x?02x44x310 解：根据不定积分与原函数的关系知，?g(x)dx?f(x)?C。应选B。
0tanxdx
2007年河南省专升本真题高数(及答案)
