∵PC是⊙O的切线,AB＝10, 1
∴OC⊥PF,OC＝OB＝AB＝5,
2∴CF＝OC·tan ∠COF＝53.
2.(2024·白银中考)如图,在△ABC中,∠ABC＝90°.
(1)作∠ACB的平分线交AB边于点O,再以点O为圆心,OB的长为半径作⊙O；(要求：不写作法,保留作图痕迹) (2)判断(1)中AC与⊙O的位置关系,直接写出结果. 解：(1)如图；
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(2)相切.过点O作OD⊥AC于点D. ∵CO平分∠ACB,
∴OB＝OD,即圆心O到直线AC的距离d＝r,
∴⊙O与直线AC相切.3.(2024·玉林中考)如图,在△ABC中,以AB为直径作⊙O交BC于点D,∠DAC＝∠B.
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)点E是AB上一点,若∠BCE＝∠B,tan ∠B＝1
2,⊙O的半径是4,求EC的长.
(1)证明：∵AB是直径,
∴∠ADB＝90°,∴∠B＋∠BAD＝90°. ∵∠DAC＝∠B,∴∠DAC＋∠BAD＝90°, ∴∠BAC＝90°,∴AB⊥AC.又∵AB是直径, ∴AC是⊙O的切线；
(2)解：∵∠BCE＝∠B,∴EC＝EB. 设EC＝EB＝x.
在Rt△ABC中,tan ∠B＝AC1
AB＝2,AB＝8,
∴AC＝4.
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在Rt△AEC中,EC＝AE＋AC, ∴x＝(8－x)＋4,解得x＝5, ∴EC＝5.
2
2
2
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直角三角形模型
例3 (2024·聊城中考)如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,BE平分∠ABC交AC于点E,作ED⊥EB交AB于点D,⊙O是△BED的外接圆.
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)已知⊙O的半径为2.5,BE＝4,求BC,AD的长.
【解析】(1)连接OE,由OB＝OE知∠OBE＝∠OEB,又由BE平分∠ABC知∠OBE＝∠CBE,据此得∠OEB＝∠CBE,从而得出OE∥BC,进一步即可得证；
BDBEAOOE
(2)证△BDE∽△BEC得＝,据此可求得BC的长度,再证△AOE∽△ABC得＝,据此可得AD的长.
BEBCABBC【答案】(1)证明：连接OE.
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∵OB＝OE, ∴∠OBE＝∠OEB. ∵BE平分∠ABC, ∴∠OBE＝∠CBE. ∴∠OEB＝∠CBE, ∴OE∥BC.
又∵∠C＝90°,∴∠AEO＝90°,即OE⊥AC. ∴AC是⊙O的切线；
(2)解：∵ED⊥BE,∴∠BED＝∠C＝90°. 又∵∠DBE＝∠EBC,∴△BDE∽△BEC, ∴
BDBE＝BEBC,即54＝4BC,∴BC＝165
. ∵∠AEO＝∠C＝90°,∠A＝∠A,
∴△AOE∽△ABC,∴AOAB＝OEBC,即AD＋2.5AD＋5＝2.516
,
5∴AD＝457.
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4.(2024·柳州中考)如图,△ABC为⊙O的内接三角形,AB为⊙O的直径,过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D.
(1)求证：△DAC∽△DBA；
1
(2)过点C作⊙O的切线CE交AD于点E,求证：CE＝AD；
2
(3)若点F为直径AB下方半圆的中点,连接CF交AB于点G,且AD＝6,AB＝3,求CG的长.
(1)证明：∵AB是⊙O直径, ∴∠ACD＝∠ACB＝90°. ∵AD是⊙O的切线, ∴∠BAD＝90°, ∴∠ACD＝∠BAD＝90°. ∵∠D＝∠D, ∴△DAC∽△DBA；
(2)证明：∵EA,EC是⊙O的切线, ∴AE＝CE(切线长定理).∴∠DAC＝∠ECA. ∵∠ACD＝90°,
∴∠ACE＋∠DCE＝90°,∠DAC＋∠D＝90°.
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2024年中考数学复习 专题7 圆的综合(精讲)试题
