2013年高考数学第一轮复习【指数、对数函数】章节资料
第三章 指数函数和对数函数
第一节 指数函数
A组
－－
1．(2010年黑龙江哈尔滨模拟)若a>1，b<0，且ab＋ab＝22，则ab－ab的值等于________．
解析：∵a>1，b<0，∴0
＝6，∴(ab－a－b)2＝a2b＋a－2b－2＝4，∴ab－a－b＝－2.答案：－2 2．已知f(x)＝ax＋b的图象如图所示，则f(3)＝________.
解析：由图象知f(0)＝1＋b＝－2，∴b＝－3.又f(2)＝0，∴a＝3，则f(3)＝(3)3－3＝33－3. 答案：33－3
1－2
3．函数y＝()2xx的值域是________．
2
解析：∵2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1， 1112
∴()2x－x≥.答案：[，＋∞) 222
4．(2009年高考山东卷)若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．
解析：函数f(x)的零点的个数就是函数y＝ax与函数y＝x＋a交点的个数，由函数的图象可知a>1时两函数图象有两个交点，0
＝a2－3
5．(原创题)若函数f(x)＝a－1(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a等于________．
x
?
解析：由题意知?a－1＝0
?a－1＝2
20
0 ? 无解或?a－1＝0 ?a－1＝2 02 a>1 ?a＝3.答案：3 －2x＋b 6．已知定义域为R的函数f(x)＝x＋1是奇函数．(1)求a，b的值； 2＋a (2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围． －1＋b 解：(1)因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1. 2＋a 1 x－＋1－2＋1－2＋12 从而有f(x)＝x1.又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2. 2＋＋a4＋a1＋a－2x＋111 (2)法一：由(1)知f(x)＝x1＝－＋x， 22＋12＋＋2 由上式易知f(x)在R上为减函数，又因f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0 2013年高考数学第一轮复习【指数、对数函数】章节资料 ?f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)． 因f(x)是R上的减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k. 1 即对一切t∈R有3t2－2t－k>0，从而Δ＝4＋12k<0，解得k<－. 3－2x＋1－2t－2t＋1－22t－k＋1 法二：由(1)知f(x)＝x1，又由题设条件得t22t1＋2t2k1<0 2＋＋22－＋＋22－＋＋2即(22t 2－k＋1 2 2 ＋2)(－2t 2－2t ＋1)＋(2t 2－2t＋1 ＋2)(－22t 2－k ＋1)<0 整理得23t 2－2t－k >1，因底数2>1，故3t2－2t－k>0 1 上式对一切t∈R均成立，从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得k<－. 3 B组 1．如果函数f(x)＝ax＋b－1(a>0且a≠1)的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，那么一定有________． ①0 － 2．(2010年保定模拟)若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝(a＋1)1x在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是________． 解析：f(x)＝－x2＋2ax＝－(x－a)2＋a2，所以f(x)在[a，＋∞)上为减函数，又f(x)，g(x) ?a≤1 都在[1,2]上为减函数，所以需??0 ?a＋1>1 3．已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，且满足以下条件①f (x)＝ax·g(x)(a>0，a≠1)； f(1)f(－1)5 ②g(x)≠0；若＋＝，则a等于________． g(1)g(－1)2 f(x)f(1)f(－1)551 解析：由f(x)＝ax·g(x)得＝ax，所以＋＝?a＋a－1＝，解得a＝2或.答 g(x)g(1)g(－1)2221 案：2或 2 － 4．(2010年北京朝阳模拟)已知函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，其反函数为f1(x)．若f(2)＝9， －1 则f1()＋f(1)的值是________． 3 1 解析：因为f(2)＝a2＝9，且a>0，∴a＝3，则f(x)＝3x＝，∴x＝－1， 3 11 故f－1()＝－1.又f(1)＝3，所以f－1()＋f(1)＝2.答案：2 33 1 5．(2010年山东青岛质检)已知f(x)＝()x，若f(x)的图象关于直线x＝1对称的图象对应的函 3 数为g(x)，则g(x)的表达式为________． 解析：设y＝g(x)上任意一点P(x，y)，P(x，y)关于x＝1的对称点P′(2－x，y)在f(x)11－ ＝()x上，∴y＝()2－x＝3x－2.答案：y＝3x2(x∈R) 33 － ex＋ex 6．(2009年高考山东卷改编)函数y＝x－x的图象大致为________． e－e 2013年高考数学第一轮复习【指数、对数函数】章节资料 x－e＋e 解析：∵f(－x)＝xx＝－x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除④. e－－ee－e－x e－x＋ex x ex＋e－xe2x＋1e2x－1＋22 又∵y＝x＝＝＝1＋在(－∞，0)、(0，＋∞)上都是减函数， e－e－xe2x－1e2x－1e2x－1排除②、③.答案：① 1 7．(2009年高考辽宁卷改编)已知函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)＝()x；当x<4时，f(x)＝f(x 2 ＋1)，则f(2＋log23)＝________. 解析：∵2<3<4＝22，∴1 1111 ＝f(3＋log23)＝f(log224)＝()log224＝2－log224＝2log2＝.答案： 2242424 8．(2009年高考湖南卷改编)设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K， ??f(x)，f(x)≤K，1－ 定义函数fK(x)＝?取函数f(x)＝2|x|，当K＝时，函数fK(x)的单调递增区间 2??K， f(x)>K. 为________． 2－|x|，x≥1或x≤－1，??1 解析：由f(x)＝2－|x|≤得x≥1或x≤－1，∴fK(x)＝?1 2 ??2，－1 9．函数y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1,16]，当a变动时，函数b＝g(a)的图象可以是________． 解析：函数y＝2|x|的图象如图． 当a＝－4时，0≤b≤4， 当b＝4时，－4≤a≤0，答案：② 10．(2010年宁夏银川模拟)已知函数f(x)＝a2x＋2ax－a≠1)在区间[－1,1]上的最大值为14，求实数a的值． 解：f(x)＝a2x＋2ax－1＝(ax＋1)2－2，∵x∈[－1,1]， 11 (1)当0 aa 111∴(＋1)2－2＝14，∴＝3，∴a＝. aa3 1 (2)当a>1时，≤ax≤a，∴当ax＝a时，f(x)取得最大值． a 1(a>0，且 2013年高考数学第一轮复习【指数、对数函数】章节资料 1 ∴(a＋1)2－2＝14，∴a＝3.综上可知，实数a的值为或3. 3 －2 11．已知函数f(x)＝x－a.(1)求证：f(x)的图象关于点M(a，－1)对称； 2＋1 (2)若f(x)≥－2x在x≥a上恒成立，求实数a的取值范围． 2 解：(1)证明：设f(x)的图象C上任一点为P(x，y)，则y＝－xa， 2－＋1 P(x，y)关于点M(a，－1)的对称点为P′(2a－x，－2－y)． －2·2x－a－2－22 ∴－2－y＝－2＋xa＝xa＝＝， 2－＋12－＋11＋2－(x－a)2(2a－x)－a＋1 －2 说明点P′(2a－x，－2－y)也在函数y＝xa的图象上，由点P的任意性知，f(x)的 2－＋1图象关于点M(a，－1)对称． －22 (2)由f(x)≥－2x得xa≥－2x，则xa≤2x，化为2x－a·2x＋2x－2≥0，则有(2x)2＋ －－2＋12＋12a·2x－2·2a≥0在x≥a上恒成立．令g(t)＝t2＋2a·t－2·2a，则有g(t)≥0在t≥2a上恒成立．∵g(t)的对称轴在t＝0的左侧，∴g(t)在t≥2a上为增函数． ∴g(2a)≥0.∴(2a)2＋(2a)2－2·2a≥0，∴2a(2a－1)≥0，则a≥0.即实数a的取值范围为a≥0. －－ 12．(2008年高考江苏)若f1(x)＝3|xp1|，f2(x)＝2·3|xp2|，x∈R，p1、p2为常数，且 ??f1(x)，f1(x)≤f2(x)，f(x)＝?(1)求f(x)＝f1(x)对所有实数x成立的充要条件(用p1、p2表示)； ?f2(x)，f1(x)>f2(x).? (2)设a，b是两个实数，满足a b－a [a，b]上的单调增区间的长度之和为(闭区间[m，n]的长度定义为n－m)． 2 解：(1)f(x)＝f1(x)恒成立?f1(x)≤f2(x)?3|x－p1|≤2·3|x－p2|?3|x－p1|－|x－p2|≤2 ?|x－p1|－|x－p2|≤log32.(*)若p1＝p2，则(*)?0≤log32，显然成立；若p1≠p2，记g(x)p－p，x ?? ＝|x－p|－|x－p|，当p>p时，g(x)＝?－2x＋p＋p，p≤x≤p， ??p－p，x>p. 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 所以g(x)max＝p1－p2，故只需p1－p2≤log32. p－p，x ?? 时，g(x)＝?2x－p－p，p≤x≤p； ??p－p，x>p. 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 当p1 所以g(x)max＝p2－p1，故只需p2－ p1≤log32. 综上所述，f(x)＝f1(x)对所有实数x成立的充要条件是|p1－p2|≤log32. (2)证明：分两种情形讨论． ①当|p1－p2|≤log32时，由(1)知f(x)＝f1(x)(对所有实数x∈[a，b])，则由f(a)＝f(b)及a p1x?a＋b?3－，x 易知p1＝.再由f1(x)＝?的单调性可知，f(x)在区间[a，b]上的单调增区 2x－p1 3，x≥p， ?? 1 2013年高考数学第一轮复习【指数、对数函数】章节资料 a＋bb－a 间的长度为b－＝. 22 ②当|p1－p2|>log32时，不妨设p1 －x<3p2－x f(x)＝f1(x)． 当x≥p2时，f1(x)＝3x－p1＝3p2－p1·3x－p2>3log32·3x－p2＝f2(x)，从而f(x)＝f2(x)． 当p1 图象交点的横坐标为x0＝＋log32.① 221 显然p1 2 ??f1(x)，p1≤x≤x0， 由①易知f(x)＝? f(x)，x ??f1(x)，a≤x≤x0， 综上可知，在区间[a，b]上，f(x)＝? ?f2(x)，x0 故由函数f1(x)与f2(x)的单调性可知，f(x)在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为(x0 －p1)＋(b－p2)，由于f(a)＝f(b)，即3p1－a＝2·3b－p2，得 p1＋p2＝a＋b＋log32.② b－a1 故由①②得(x0－p1)＋(b－p2)＝b－(p1＋p2－log32)＝. 22 b－a 综合①、②可知，f(x)在区间[a，b]上单调增区间的长度之和为. 2 第二节 对数函数 A组 1．(2009年高考广东卷改编)若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，其图象经过点(a，a)，则f(x)＝________. 11 解析：由题意f(x)＝logax，∴a＝logaa2＝，∴f(x)＝log1x.答案：log1x 2222．(2009年高考全国卷Ⅱ)设a＝log3π，b＝log23，c＝log32，则a、b、c的大小关系是 ________． 1111 解析：a＝log3π>1，b＝log23＝log23∈(，1)，c＝log32＝log32∈(0，)，故有a>b>c. 2222 答案：a>b>c ??1?x???,x?[?1,0)3．若函数f(x)＝??4?，则f(log43)＝________. ?x?4,x?[0,1]解析：0 －1 1 的图象经过点(4,2)，则函数g(x)＝loga的图象是________． x＋1
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