第6讲 绝对值不等式
一【学习目标】
1.理解绝对值的意义；
2.掌握绝对值不等式的解法； 3.掌握绝对值的三角不等式.
二【知识梳理】
1.绝对值的意义
（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝
对值仍是零．即
?a,a?0,?|a|??0,a?0,
??a,a?0.?（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．
两个数的差的绝对值的几何意义：a?b表示在数轴上，数a和数b之间的距离．
|a| =-a(a<0) A(a)
|a| =a(a>0) A(a)
O
|a-b| A(a)
2.绝对值不等式的解法
B(b)
??（2）不等式x?a(a?0)的解集是?xx?a,或x??a?；
（1）不等式x?a(a?0)的解集是x?a?x?a；
（3）不等式ax?b?c(c?0)的解集为 ?x|?c?ax?b?c?(c?0)； （4）不等式ax?b?c(c?0)的解集为 ?x|ax?b??c,或ax?b?c?(c?0). 3.重要不等式
（1）||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|；
（2）||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|. 4.区间概念
设a?b 图示 集合 区间
注：不等式的解一般用集合或区间表示.
三【典例精析】
例1.解下列不等式：
⑴.|x?3|?4 ⑵.1?|x?1|?3
例2 解不等式：x?1?x?2?5
解法1.（1）当x??2时，原不等式化为： ?(x?1)?(x?2)?5，解得x??3，此时不
等式的解集为 ???,?3?；
（2）当?2?x?1时，原不等式化为：?(x?1)?(x?2)?5，即3?5，矛盾，
此时不等式的解集为?； （3）当x?1时，原不等式化为：(x?1)?(x?2)?5,解得x?2，
此时不等式的解集为 ?2,???.
综上知，原不等式的解集为???,?3???2,??? 解法2.
A1 -3
A -2
B -1
B1 2
设数轴上与?2,1对应的点分别为A,B，则A,B两点的距离为3，故在区间??2,1?上的数都不是原不等式的解. 将点A左移个单位得点A1，这时有A1A?A1B?5，
同理：将B点左移个单位得点B1，这时也有B1A?B1B?5.从数轴上可看出原不等 式的解集为???,?3???2,???. 解法3.
x
y -3 O -2 2 x
??2x?6, x?-2?构造函数y?x?1?x?2?5，即y??-2, -2?x?1
?2x-4 , x?1?由图象知：原不等式的解集为???,?3???2,???.
点拨：x?a?x?b?c和x?a?x?b?c型不等式的解法：
①利用绝对值不等式的几何意义 ②零点分区间 ③构造函数法
例3.求证：定理1：如果a, b是实数，则|a?b|?|a|?|b|, 当且仅当ab?0时，等号成立。
证明：当ab?0时，ab?|ab|
|a?b|?(a?b)2?a2?2ab?b2?|a|2?2|ab|?|b|2 ?(|a|?|b|)2?|a|?|b|
当ab?0时，ab??ab，
|a?b|?(a?b)2?a2?2ab?b2?|a|2?2|ab|?|b|2 ?|a|2?2|ab|?|b|2?(|a|?|b|)2?|a|?|b|,
所以|a?b|?|a|?|b|,当且仅当ab?0时，等号成立。 点拨：|a|，|b|，|a-b|，|a+b|之间的关系是：
|a|-|b|≤|a+b|, |a|+|b|≥|a-b|, |a|-|b|≤|a-b|.
例4.已知ε>0，|x-a|<ε,|y-b|<ε，求证：|2x+3y-2a-3b|<5ε 证明：|2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)|
=|2(x-a)+3(y-b)|≤|2(x-a)|+|3(y-b)| =2|x-a|+3|y-b|<2ε+3ε=5ε.
所以
|2x+3y-2a-3b|<5ε.
例5. 求证：定理2：如果a, b, c是实数，那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|，当且仅当(a-b)(b-c)
≥0时，等号成立。
证明：根据绝对值三角不等式有
|a-c|=|(a-b)+(b-c)|≤|a-b|+|b-c|.
当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。 例6.设不等式x?4?x?3?a的解集为M， （1）当M?R时，求a的取值范围； （2）当M??时，求a的取值范围； （3）当M??时，求a的取值范围.
四【过关精练】
一、选择题
1.下列叙述正确的是（ ）
A.若a?b，则a?b B.若a?b，则a?b C.若a?b，则a?b D.若a?b，则a??b 2．若a＞b，c为实数，下列不等式成立是（ ）．
A.ac＞bc B.ac＜bc C .ac2＞bc2 D.ac2≥bc2 3．不等式│3-x│＜2的解集是（ ）．
A.{x│x＞5或x＜1} B.{x│1＜x＜5} C.{x│-5＜x＜-1} D.{x│x＞1}
4．如果（a+1）x＞a+1的解集是x＜1，则a必须满足（ ）．
A.a＜0 B.a≤-1 C.a＞-1 D.a＜-1 5．不等式1≤│2x-7│＜3的解集是（ ）．
A.{x│4≤x＜5} B.{x│x≥4或x≤5} C.{x│2＜x≤3或4≤x＜5} D.{x│x≤3或x＞2}
二、填空题
6．当0＜x＜1时，x2，x，
1的大小关系是________． x7．-1＜
2x?13的解集是________．
8．│x+3│＞4的解集是________．
9．若│x-1│＜3，化简│x-4│+│x+2│得________． 10．数集{2a，a2-a}中，a的取值范围是________．
三、解答题 11．解不等式
x?1?71?x?1＜3．
?5x?1?3(x?2)12．解不等式组?
2?x?5.?
13．求不等式2（1-x）≤3（2-x）的负整数解．
14．解不等式│x+2│+│x-2│≤12．
15．已知A={x││x-1│＜c，c＞0＝，B={x││x-3│＞4}，且A∩B=Ф，求c的范围．
16.解关于x的不等式2x?3?1?a(a?R).
参考答案
一、选择题
1.D；2.D；3.B；4.D；5.C. 二、填空题 6．x?x?三、解答题 11．x＞1或x＜-3； 12.?21；7．R；8．{xx?1或x?-7?；9．6；10．a≠3且a≠0. x5?x?7； 213．x=-5，-4，-3，-2，-1； 14．-6≤x≤6； 15．0＜c≤2．
思法数学：初升高衔接讲义-第6讲--绝对值不等式
