求证：AM＝MC＋CD。
【说明】（1）本题是江苏省第12届初中数学竞赛第六题，这也是著名的阿基米德折弦定理。（2）它的证明方法有多种，下面三种辅助线的情形自己证明。
【针对训练】
6
7
第三节 圆的内接四边形与四点共圆
【知识点拨】
圆内接四边形和四点共圆之间有着非常密切的联系，因为顺次连接共圆四点就成为圆内接四边形。此节中涉及两个基本问题：（1）四点共圆的判定；（2）四点共圆的性质的应用。
证明四点共圆是平面几何中一个重要的证明方法，它和证明三角形全等、相似占有同等重要的地位。实际上，在许多题目中的已知条件中，并没有给出圆，有时需要通过证明四点共圆，把实际存在的圆找出来，然后再借助圆的性质得到要证明的结论。因此，证明四点共圆就给研究几何图形的性质，开拓了新的思路。
判定四点共圆的方法：
1、 到一定点等距离的几个点共圆；
2、 同斜边的直角三角形的各顶点共圆；
3、 同底同侧张等角的三角形的各顶点共圆；
4、 如果一个四边形的一组对角互补，那么它的四个顶点共圆； 5、 如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么它的四个顶点共圆；
6、 四边形ABCD的对角线相交于点P，若PA〃PB＝PC〃PD，则它的四个顶点共圆。
7、 四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线相交于点P，若PA〃PB＝PC〃PD，则它的四个顶点共圆。 上述关于七种判定四点共圆的基本方法的命题的逆命题也是成立的。
另外，还有关于四边形与对角线之间长度关系的托勒密定理也是很重要的。即： 如果四边形ABCD四个顶点共圆，那么AB〃CD＋AD〃BC＝AC〃BD。
【赛题精选】
例1、求证：同底同侧张等角的三角形的各顶点共圆。
【说明】（1）证明一些最基本的问题，在条件很少时可考虑用反证法。
（2）在反证时，不要漏掉结论反而面的各种情况。
例2、过正方形ABCD对角线BD上任一点P作边的平行线，其与各边的交点分别是E、F、G、H。 证明：E、F、G、H四点共圆。
【说明】在证明四点共圆时，如能知道圆心的位置，可设法用圆的定义证。
例3、⊙O1与⊙O2相交于A、B，P是BA延长线上一点，割线PCD交⊙O1于C、D，割线PEF交⊙O2于E、F。 求证：C、D、E、F四点共圆。
8
【变题】：如右下图，两圆交于点A、B，点P为BA的延长线上一点，两割线PCD、PEF分别交于圆C、D和E、F，且D、B、F三点共线。
求证：A、C、P、E四点共圆。
例4、证明：锐角三角形三条高是垂足连成三角形的内角平分线。
【说明】要充分利用已知的垂直关系再考虑到要证明角的相等关系，故应构造圆，利用圆中有关的角来过渡。
例5、已知P是⊙O外一点，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点。PO与AB交于M，过M作⊙O的弦CD。 求证：∠CPO＝∠DPO。
【说明】在处理平面几何中的许多问题时，常常需要借助于圆的性质，问题才能得以解决，而我们需要直接用的圆并不存在［有时问题中条件就根本没有涉及圆，有时虽然在题中讲到圆，但此圆并不是我们直接要用的圆（如本题）］，这就需要我们利用已知条件，借助图形把需要到的实际存在的圆找出来。
例6、求证：如果凸四边形的两组对边的乘积之和等于对角线的积，那么这个四边形是圆内接四边形。
9
【说明】（1）本题又给出了证明四点共圆的一种方法，它是利用四边形的边和对角线的长度来判定的。（2）其逆命题是著名的托勒密定理，并且该定理有着广泛的运用。下面介绍托勒密定理的证明及其应用。
例7、已知四边形ABCD内接于圆。 求证：AB·DC＋BC·AD＝AC·BD。
例8、已知△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：4。 求证：
【说明】（1）在一个证明题中，如从要证明的结论出发能变为和托勒密定理反映的和圆的内接四边形的性质的结论类似的形式，可考虑构造圆，然后用托勒密定理。
（2）在一些计算题中，题中给了圆，如一般方法不秦奏效，不妨试一试托勒密定理。
（3）本题若以C为圆心，CB长为半径作弧交AB于D、交AC于E，连接CD、DE，并设∠A＝α，∠B＝2α，∠C＝4α，△ABC的内角和为7α，请自己证明，并比较两种证法。
（4）本题实际上提供了本书第十一章第一节相似三角形中例6的又一种证法。
关于托勒密定理还有如下的推广：在凸四边形ABCD中，AB〃DC＋BC〃AD≥AC〃BD，当且仅当四边形内接于圆时取等号。
例9、已知两同心圆O，四边形ABVD内接于圆，AB、BC、CD、DA的延长线交外圆于A1、B1、C1、D1，若外圆的半径是内圆的半径的2倍。
求证：四边形A1B1C1D1的周长≥2倍四边形ABCD的周长，并确定等号成立的条件。
1AB?1AC?1BC。
【针对训练】
10
初中数学奥林匹克竞赛解题方法大全(配PDF版)-第12章-圆
