[基础题组练]
2
1．小明同学喜欢打篮球，假设他每一次投篮投中的概率为，则小明投篮四次，恰好两3次投中的概率是( )
4A. 814C. 27
8B. 818D. 27
22
4，?，投篮四次，恰好解析：选D.假设小明每一次投篮投中的概率为，满足X～B??3?3两次投中的概率
P＝C24
?2??1?＝8.故选D.
?3??3?27
22
2．(2019·石家庄摸底考试)某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一11次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则开关在第一次闭合后出
25现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为( )
1
A. 102C. 5
1B. 51D. 2
解析：选C.设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A，“开关第二次闭合后出现红灯”为事件B，则“开关两次闭合后都出现红灯”为事件AB，“开关在第一次闭合后出现红灯的P（AB）2条件下第二次闭合后出现红灯”为事件B|A，由题意得P(B|A)＝＝，故选C.
P（A）5
3．在一个质地均匀的小正方体的六个面中，三个面标0，两个面标1，一个面标2，将这个小正方体连续掷两次，若向上的数字的乘积为偶数，则该乘积为非零偶数的概率为( )
1A. 41C. 16
8B. 95D. 32
解析：选D.两次数字乘积为偶数，可先考虑其反面——只需两次均出现1向上，故两2?8
次数字乘积为偶数的概率为1－??6?＝9；若乘积非零且为偶数，需连续两次抛掷小正方体的5
36511115
情况为(1，2)或(2，1)或(2，2)，概率为××2＋×＝.故所求条件概率为＝.
366636832
9
4．(2019·广西三市第一次联考)某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪
2
调查，随机抽查的200个机械元件情况如下：
使用时 间/天 个数 10～20 10 21～30 40 31～40 80 41～50 50 51～60 20 若以频率为概率，现从该批次机械元件中随机抽取3个，则至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率为( )
13A. 1625C. 32
27B. 6427D. 32
3?21503?2解析：选D.由表可知元件使用寿命在30天以上的概率为＝，则所求概率为C3?4?20041?3?327
×＋?4?＝. 432
5．(2018·高考全国卷Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p, 各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，则p＝( )
A．0.7 C．0.4
B．0.6 D．0.3
解析：选B.由题意知，该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布，所
4666以DX＝10p(1－p)＝2.4，所以p＝0.6或p＝0.4.由P(X＝4)＜P(X＝6)，得C410p(1－p)＜C10p(1
－p)4，即(1－p)2＜p2，所以p＞0.5，所以p＝0.6.
6．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且每次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为________．
23解析：该同学通过测试的概率P＝C23×0.6×0.4＋0.6＝0.432＋0.216＝0.648.
答案：0.648
7．甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩如下(单位：分)． 甲组：76，90，84，86，81，87，86，82，85，83 乙组：82，84，85，89，79，80，91，89，79，74
现从这20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲组学生”记为事件A；“抽出的学生的英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B，则P(AB)，P(A|B)的值分别是________．
解析：由题意知，P(AB)＝
5＋491051
×＝，P(B)＝＝，根据条件概率的计算公式得201042020
1
P（AB）45
P(A|B)＝＝＝.
99P（B）
20
15答案：，
49
8．三支球队中，甲队胜乙队的概率为0.4，乙队胜丙队的概率为0.5，丙队胜甲队的概率为0.6，比赛顺序是：第一局是甲队对乙队，第二局是第一局的胜者对丙队，第三局是第二局的胜者对第一局的败者，第四局是第三局的胜者对第二局的败者，则乙队连胜四局的概率为________．
解析：设乙队连胜四局为事件A，有下列情况：第一局中乙胜甲(A1)，其概率为1－0.4＝0.6；第二局中乙胜丙(A2)，其概率为0.5；第三局中乙胜甲(A3)，其概率为0.6；第四局中乙胜丙(A4)，其概率为0.5，因各局比赛中的事件相互独立，故乙队连胜四局的概率为：P(A)＝P(A1A2A3A4)＝0.62×0.52＝0.09.
答案：0.09
9．从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇111到红灯的概率分别为，，.
234
(1)设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 解：(1)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3. 11111－?×?1－?×?1－?＝， P(X＝0)＝??2??3??4?4
11111111111
1－?×?1－?＋?1－?××?1－?＋?1－?×?1－?×＝， P(X＝1)＝×?4??2?3?4??2??3?4242?3??11111111111－?××＋×?1－?×＋××?1－?＝， P(X＝2)＝??2?342?3?423?4?41111
P(X＝3)＝××＝.
23424所以，随机变量X的分布列为
X P 0 1 41 11 242 1 43 1 24(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为
P(Y＋Z＝1)＝P(Y＝0，Z＝1)＋P(Y＝1，Z＝0) ＝P(Y＝0)P(Z＝1)＋P(Y＝1)P(Z＝0) 11111111＝×＋×＝. 42424448
11
所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为.
48
10．(2019·河北“五个一名校联盟”模拟)空气质量指数(Air Quality Index，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级：0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；300以上为严重污染．一环保人士记录了去年某地六月10天的AQI的茎叶图如图．
(1)利用该样本估计该地六月空气质量为优良(AQI≤100)的天数；
(2)将频率视为概率，从六月中随机抽取3天，记三天中空气质量为优良的天数为ξ，求ξ的分布列．
解：(1)从茎叶图中可以发现样本中空气质量为优的天数为2，空气质量为良的天数为4，63
所以该样本中空气质量为优良的频率为＝，从而估计该地六月空气质量为优良的天数为
1053
30×＝18.
5
3
(2)由(1)估计某天空气质量为优良的概率为，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，且ξ～
533，?. B??5?
2?8所以P(ξ＝0)＝?＝?5?125， P(ξ＝1)＝C13P(ξ＝2)＝C23
3
?3??2?＝36，
?5??5?125?3??2?＝54， ?5??5?125
3
2
1
12
3?27
P(ξ＝3)＝?＝?5?125.
ξ的分布列为 ξ P 0 8 1251 36 1252 54 125[综合题组练] 1．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为( )
1C35C4A.4 C5
3 27 1255?4B.??9?×9 D．C14×
3
31
C.× 54?5?×4 ?9?9
3
解析：选B.由题意知，第四次取球后停止是当且仅当前三次取的球是黑球，第四次取
5?4
的球是白球的情况，此事件发生的概率为??9?×9.
2．已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为( )
3
A. 107C. 8
2B. 97D. 9
3
解析：选D.设事件A为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B为“第2次抽到的是卡7
P（AB）3073377
口灯泡”，则P(A)＝，P(AB)＝×＝.则所求概率为P(B|A)＝＝＝.
101093039P（A）
10
3．(2019·高考全国卷Ⅰ)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．
解析：记事件M为甲队以4∶1获胜，则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四场甲队胜三场负一场，所以P(M)＝0.6×(0.62×0.52×2＋0.6×0.4×0.52×2)＝0.18.
答案：0.18
4．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________．(写出所有正确结论的序号)
2①P(B)＝；
55
②P(B|A1)＝；
11
③事件B与事件A1相互独立； ④A1，A2，A3是两两互斥的事件；
⑤P(B)的值不能确定，它与A1，A2，A3中哪一个发生都有关． 解析：由题意知A1，A2，A3是两两互斥的事件， 51213
P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝，
1021051015×2115
P(B|A1)＝＝，
1112
二项分布及其应用 新题培优练
