课时作业
y2
1．若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x＋＝1的离心率是( )
m
2
A.C.3
B.5 235或 22
D.3
或5 2
D [解析] 因为m是2和8的等比中项，所以m2＝2×8＝16，所以m＝±4. y22c3当m＝4时，圆锥曲线＋x＝1是椭圆，其离心率e＝＝；
4a2y2c5
当m＝－4时，圆锥曲线x－＝1是双曲线，其离心率e＝＝＝5.
4a1
2
综上知，选项D正确．
2．已知集合A＝{x|1≤x<5}，C＝{x|－a －，－1? A.??2?C.(－∞，－1] 3 －∞，－? B.?2?? 3 －，＋∞? D.??2? C [解析] 因为C∩A＝C，所以C?A.①当C＝?时，满足C?A，此时－a≥a＋3，得a≤－a －；②当C≠?时，要使C?A，则?－a≥1，解得－ ??a＋3<5， 3．已知三棱柱的底面为正三角形，且侧棱垂直于底面，其侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为( ) 83A. 323C. 9 B．43 D．43或 83 3 1 D [解析] 当矩形长、宽分别为6和4时，体积V＝2×3××4＝43；当长、宽分别为 2423183 4和6时，体积V＝×××6＝. 3323 x2y2 4．(2016·高考全国卷乙)已知方程2－2＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间 m＋n3m－n的距离为4，则n的取值范围是( ) A．(－1，3) C．(0，3) B．(－1，3) D．(0，3) A [解析] 由题意得(m2＋n)(3m2－n)＞0，解得－m2＜n＜3m2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m2＋n＋3m2－n＝4，即m2＝1，所以－1＜n＜3. 5．(2016·昆明两区七校调研)某校从8名教师中选派4名同时去4个偏远地区支教(每地1名教师)，其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，则不同的选派方案有( ) A．900种 C．300种 B．600种 D．150种 B [解析] 依题意，就甲是否去支教进行分类计数：第一类，甲去支教，则乙不去支教，且丙也去支教，则满足题意的选派方案有C2A45·4＝240种；第二类，甲不去支教，且丙也不去支教，则满足题意的选派方案有A46＝360种．因此，满足题意的选派方案共有240＋360＝600种，选B. 6．若函数f(x)＝x3－tx2＋3x在区间[1，4]上单调递减，则实数t的取值范围是( ) 51－∞，? A.?8?? 51 ，＋∞? C.??8? B．(－∞，3] D．[3，＋∞) C [解析] f′(x)＝3x2－2tx＋3，由于f(x)在区间[1，4]上单调递减，则有f′(x)≤0在[1，4]1133 x＋?在[1，4]上恒成立，因为y＝?x＋?在[1，4]上恒成立，即3x2－2tx＋3≤0，即t≥?2?x?2?x?上单调递增， 1513 4＋?＝，故选C. 所以t≥?4?82? π 0，?，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________． 7．若“?x∈??4? ππ 0，?上恒成立，即y＝tan x在?0，?[解析] 由题意知，原命题等价于tan x≤m在区间??4??4?π 0，?上的最大值为1，所以m≥1，即m的最小上的最大值小于或等于m，又y＝tan x在??4?值为1. [答案] 1 x ??2－2，x≤0 8．(2016·唐山统一考试)已知函数f(x)＝?，且f(a)＝－2，则f(7－a)＝ ?－log3x，x>0? ________． [解析] 当a≤0时，2a－2＝－2无解；当a>0时，由－log3a＝－2，解得a＝9，所以f(77－ －a)＝f(－2)＝22－2＝－. 4 7 [答案] － 4 9．(2016·郑州第二次质检)已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是________． 3－x23－x23x2＋33?1?[解析] 由题意得，y＝，所以2x＋y＝2x＋＝＝?x＋x?≥3，当且仅当 2x2x2x2x＝y＝1时，等号成立． [答案] 3 10．若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1，1]内至少存在一个值c，使得f(c)>0，则实数p的取值范围是________． [解析] 若在[－1，1]内不存在c满足f(c)>0， ?p≤－2或p≥1，??f（－1）≤0， 则?即? 3?f（1）≤0，? ?p≤－3或p≥2. 33 解得p≤－3或p≥，取补集得－3 223 －3，?. 即满足题意的实数p的取值范围是?2??3 －3，? [答案] ?2?? 1 11．(2016·武汉调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＋＝4cos C， ab＝1. (1)若sin C＝21 ，求a，c； 7 1 (2)若△ABC是直角三角形，求△ABC的面积． [解] (1)因为sin C＝2142，所以cos2C＝1－sin2C＝，cos C＝. 777 1 因为4cos C＝a＋， a所以817＝a＋，解得a＝7或. a77 a2＋b2－c2a2＋1－c21 又＋a＝4cos C＝4×＝4×， a2ab2a所以a2＋1＝2(a2＋1－c2)，即2c2＝a2＋1， 所以当a＝7时，c＝2； 当a＝ 1227 时，c＝＝. 777 (2)由(1)可知2c2＝a2＋1. 又△ABC为直角三角形，C不可能为直角． (ⅰ)若角A为直角，则a2＝b2＋c2＝c2＋1， 所以2c2－1＝c2＋1， 所以c＝2，a＝3， 112 所以S＝bc＝×1×2＝. 222 (ⅱ)若角B为直角，则b2＝a2＋c2，a2＋c2＝1， 所以2c2＝a2＋1＝(1－c2)＋1， 所以c2＝23，a2＝1 3， 即c＝ 63，a＝33 ， 所以S＝11632 2ac＝2×3×3＝6 . 12．(2016·南昌第一次模拟测试)如图，四棱锥S -ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB＝AD＝1，DC＝SD＝2，M，N分别为SA，SC的中点，E为棱SB上的一点，且SE＝2EB. (1)证明：MN∥平面ABCD； (2)证明：DE⊥平面SBC. [证明] (1)连接AC， 因为M，N分别为SA，SC的中点， 所以MN∥AC， 又MN?平面ABCD， AC?平面ABCD， 所以MN∥平面ABCD. (2)连接BD，因为BD2＝12＋12＝2，BC2＝12＋(2－1)2＝2， BD2＋BC2＝2＋2＝4＝DC2， 所以DB⊥BC， 又SD⊥底面ABCD，BC?底面ABCD， 所以SD⊥BC， 因为SD∩DB＝D，所以BC⊥平面SDB， 因为DE?平面SDB，所以BC⊥DE， 又SB＝ SD2＋DB2＝4＋2＝6， 当SE＝2EB时，EB＝6 3 ， 6在△EBD与△DBS中，EB33DB23 BD＝2＝3，BS＝6＝3， 所以EBDB BD＝BS ， 又∠EBD＝∠DBS，所以△EBD∽△DBS， 所以∠DEB＝∠SDB＝90°，即DE⊥SB， 因为SB∩BC＝B， 所以DE⊥平面SBC. ?Sn?13．(2016·郑州第一次质量预测)已知数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn，且数列?n? ?? 是公差为2的等差数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝(－1)nan，求数列{bn}的前n项和Tn. Sn[解] (1)由已知条件可得＝1＋(n－1)×2＝2n－1，所以Sn＝2n2－n. n当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－n－[2(n－1)2－(n－1)]＝4n－3， 当n＝1时，a1＝S1＝1，而4×1－3＝1，所以an＝4n－3. (2)由(1)可得bn＝(－1)nan＝(－1)n(4n－3)， n 当n为偶数时，Tn＝－1＋5－9＋13－17＋…＋(4n－3)＝4×＝2n， 2当n为奇数时，n＋1为偶数，Tn＝Tn＋1－bn＋1＝2(n＋1)－(4n＋1)＝－2n＋1. * ??2n（n＝2k，k∈N） 综上，Tn＝?. * ?－2n＋1（n＝2k－1，k∈N）? 14．已知函数f(x)＝(ax2＋x)ex，其中e是自然对数的底数，a∈R. (1)当a>0时，解不等式f(x)≤0； (2)当a＝0时，求整数t的所有值，使方程f(x)＝x＋2在[t，t＋1]上有解． [解] (1)因为ex>0，所以不等式f(x)≤0即为ax2＋x≤0， 1 x＋?≤0， 又因为a>0，所以不等式可化为x??a?1 －，0?. 所以不等式f(x)≤0的解集为??a? (2)当a＝0时，方程即为xex＝x＋2，由于ex>0，所以x＝0不是方程的解， 2 所以原方程等价于ex－－1＝0. x2 令h(x)＝ex－－1， x 2 因为h′(x)＝ex＋2>0对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)恒成立， x所以h(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)内是单调递增函数， 1－－ 又h(1)＝e－3<0，h(2)＝e2－2>0，h(－3)＝e3－<0，h(－2)＝e2>0，所以方程f(x)＝x 3＋2有且只有两个实数根，且分别在区间[1，2]和[－3，－2]上， 所以整数t的所有值为{－3，1}．
2017高考数学（理）（新课标版）考前冲刺复习课时作业：第1部分第2讲分类讨论、转化与化归思想
