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圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 第三部分 章节题库
第一章 线性规划及单纯形法
一、判断题
1．线性规划问题的每一个基解对应可行域的一个顶点。（ ）[北京交通大学2010研]
【答案】×
【解析】基解不一定是可行解，基可行解一一对应着可行域的顶点。
2．若线性规划问题的可行解为最优解，则该可行解必定是基可行解。（ ）[南京航空航天大学2011研]
【答案】√
【解析】基解且可行才有可能是最优解。
3．如果线性规划问题无最优解，则它也一定没有基可行解。（ ）[东北财经大学2008研]
【答案】×
【解析】当问题的可行域是无界的，因而有无界的可行解。此时该问题无有限最优解，但是存在基可行解。
4．若x（1）、x（2）分别是某一线性规划问题的最优解，则x＝λ1x（1）＋λ2x（2）也是该
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www.100xuexi.com 【答案】×
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 线性规划问题的最优解，其中λ1、λ2为正的实数。（ ）[北京交通大学2010研]
【解析】必须规定λ1＋λ2＝1，且λ1，λ2≥0。当某一线性规划问题存在两个最优解时，则它一定存在无数个最优解，最优解为x＝λ1x（1）＋λ2x（2）且λ1＋λ2＝1，λ1，λ2≥0。
二、选择题
1．单纯形法中，关于松弛变量和人工变量，以下说法正确的是（ ）。[中山大学2008研]
A．在最后的解中，松弛变量必须为0，人工变量不必为0 B．在最后的解中，松弛变量不必为0，人工变量必须为0 C．在最后的解中，松弛变量和人工变量都必须为0 D．在最后的解中，松弛变量和人工变量都不必为0 【答案】B
【解析】松弛变量是在约束不等式号的左端加入的，在最后的解中，其值可以不必为0；人工变量是在原约束条件为等式的情况下加入的，只有基变量中不再含有非零的人工变量时，原问题才有解，所有最后的解中人工变量必须为0。如果人工变量不为0，则原问题无可行解。
2．（多选）线性规划可行域为封闭的有界区域，最优解可能是（ ）。[中山大学2007研]
A．唯一的最优解 B．一个以上的最优解
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www.100xuexi.com C．目标函数无界 D．没有可行解 【答案】AB
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 【解析】可行域非空，故有可行解；可行域封闭，故目标函数有界，有一个或多个最优解。
3．（多选）线性规划的最优解有以下几种可能？（ ）[中山大学2008研] A．唯一最优解 B．多个最优解
C．没有最优解，因为目标函数无界 D．没有最优解，因为没有可行解 【答案】ABCD
【解析】线性规划问题的每个基可行解对应可行域的一个顶点，若现行规划问题有最优解，必在某个顶点上得到，当该顶点唯一时，有唯一最优解；当目标函数在多个顶点上达到最大值时，则该问题有无限多个最优解；目标函数无界，称线性规划问题具有无界解，此时无最优解；使目标函数达到最大的可行解称为最优解，故没有可行解就没有最优解。
三、填空题
1．对于线性规划问题：Max Z＝CX；AX≤b，X≥0，若B＝（P1，P2，…，Pm）为A中m个线性无关的列向量，且为该LP的一个可行基，则对应于基B的基可行解为：______，该基可行解为最优解的条件是：______。[武汉大学2005研]
【答案】X＝（x1，x2，…，xm，0，…，0）T；对于一切j＝m＋1，…，n，有σj≤0
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www.100xuexi.com 圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 【解析】若B＝（P1，P2，…，Pm）为A中m个线性无关的列向量，此时令非基变量xm＋1＝xm＋2＝…＝xn＝0，这时变量的个数等于线性方程组的个数，用高斯消去法，可求得对应于基B的基可行解为X＝（x1，x2，…，xm，0，…，0）T。由最优解的判别定理，若
对于一切j＝m＋1，…，n，有σj≤0，则所求得的基可行解为最优解。
2．当极大化线性规划模型达到最优时，某非基变量xj的检验数为σj，当价格系数为cj
的变化量为?cj时，原线性规划问题最优解保持不变的条件是______。[武汉大学2005研]
【答案】σj＋?cj≤0
【解析】xj为非基变量，其价格系数变化?cj后，其检验数变为σj′＝σj＋?cj，极大化
线性规划模型最优解保持不变的条件是σj′＝σj＋?cj≤0。
3．若X为某极大化线性规划问题的一个基可行解，用非基变量表达其目标函数的形式为Z?Z0???j?JjXj则X为该LP最优解的条件是：______。[武汉大学2006研]
【答案】σj≤0
【解析】求极大化问题，则当所有非基变量的检验数均为非正时，即得最优解。线性规划最优时要求非基变量检验数小于等于0，所以σj≤0。
4．两阶段法中，若第一阶段目标函数最优值不为0，则原问题______。[北京科技大学2011研]
【答案】无可行解
【解析】第一阶段目标函数值不是0，则说明最优解的基变量中含有非零的人工变量，表明原线性规划问题无可行解。
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四、简答题
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 简述目标规划单纯形法求解的基本思想。[南京航空航天大学2009研] 答：目标规划单纯形法求解的基本思想为：
（1）建立初始单纯形表，在表中将检验数行按优先因子个数分别列成K行，置k＝1； （2）检查该行中是否存在负数，且对应的前k－1行的系数是零。若有负数取其中最小者对应的变量为换入变量，转第（3）步。若无负数。则转第（5）步；
（3）按最小比值规则确定换出变量，当存在两个和两个以上相同的最小比值时，选取具有较高优先级别的变量为换出变量；
（4）按单纯形法进行基变换运算，建立新的计算表，返回第（2）步；
（5）当k＝K时，计算结束。表中的解即为满意解。否则置k＝k＋1，返回到第（2）步。
五、计算题
1．用单纯形法求解如下LP问题：[大连理工大学2005研]
minw??3x1?x2?3x3?2x1?x2?x3?2?x?2x?3x?5?123s..t??2x1?2x2?x3?6??x1?0,x2?0,x3?0
解：将原问题标准化：
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