2013年全国高中数学联赛河南预赛高一试题
一、填空题（共10小题，每题6分，满分60分）
1、已知集合M满足条件：?1,2,3,?则符合条件的集合M??,512??M??1,2,3,???,2013?，共有 个。 2、已知x,y?R，
11??1，则x?y? 1?2x1?2y?1?1,x?0?3、已知符号函数sgn(x)??0,x?0，则函数f(x)?sgn(lnx)?lnx的零点有 个。
??1,x?0?MN的一4、已知直四棱柱ABCD?A1BC11D1各棱长均为3，?BAD?60。长为2的线段
个端点M在DD1上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，则MN的中点的轨迹（曲面）与共一顶点的三个面围成的几何体的体积为
CD的长度分别等于6、5、连接球面上两点的线段称为球的弦。半径为5的球的两条弦AB、
?8，M、N分别为弦AB、CD的中点，则MN的取值范围是 。
6、已知平面直角坐标系中：A(?2,0)、B(2,0)、C(0,2)、E(?1,0)、F(1,0)，一束光线从F点出发射到直线BC上的D点经直线BC反射后，再经直线AC反射，两次反射后落
到线段AE上（不含端点），则直线FD斜率的范围是 。
1?x27、函数f(x)?的值域是 。
2?x28、已知函数y?f(x)是定义在实数集R上的奇函数，且当x?0时，f(x)?x，若对任
意的x?[t,t?2]，不等式f(x?2t)?4f(x)恒成立，则实数t的取值范围是 。 9、（请同学们任选一题作答，若两题都做，则按上面一题正误判分）
（必修3）若x1，x2，???，xn的方差是s(s?0)，a、b是常数，则bx1?a，bx2?a，
2???，bxn?a的标准差是 。
（必修4）如图所示，在直角梯形ABCD中， AB?AD，AD?DC?1，AB?3，动点P 在?BCD内运动（含边界），设
DCP????????????，则???的AP??AB??AD（?、??R）
取值范围是 。
A图1B 1
10、已知集合A?mm?x?y,x、y?Z。将A中的自然数元素从小到大排列为：a1，
?22?a2，???。若an?2013，则正整数n? 。
二、（本题满分20分）如图2所示，圆O1为?ABC的外接圆，且AB?AC，延长AC到
D，使AD?AB，E为?CAB的平分线与BC的交点，圆O2为?CDE的外接圆，F
为两圆的另外一个交点。 证明：（1）A、E、F三点共线 （2）O2F?AD
BO1EFO2A图222CD
三、（本题满分20分）已知a、b?R，且a?b?1。考察在平面直角坐标系xoy的直
线系M：ax?by?2b?1?0
（1） 若点P(x0,y0)到M中的任一条直线的距离都是定值d，求点M的坐标及d的值 （2） 若直线系M中至多有一条直线经过点Q(x,y)，求点Q的轨迹方程。
四、（本题满分20分）（请同学们任选一题作答，若两题都做，则按上面一题正误判分）
x（必修3）已知对任意的实数x?0，都有e?x?1
（1） 长度为1的木棍任意的折成两段，较长的一段再随机折成两段，求所得的三段小木
棍能组成三角形的概率P； （2） 证明：ln(3n?1)?(1?211P??????)，其中P为（1）中所求的概率。 23n2（必修4）已知函数f(x)?x?2asin(cosx)?a(a?R) （1） 判断f(x)的奇偶性
2
（2） 若f(x)?0仅有一个实数解，求a的值
五、（本题满分20分）已知两条直线l1：y?m?1和l2：y?4(m?1)，l1与函数m?1y?lnx的图像从左至右相交于点A、B，l2与函数y?lnx的图像从左至右相交于
点C、D。记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a、b。记A、B、C、D四点的横坐标分别为x1、、x3、x4。 （1） 证明：x1x2?x3x4?1； （2） 求
b的最小值 a2013年全国高中数学联赛河南预赛高一试题答案
一、填空题 1、21501； 2、?1； 3、3； 4、
2?； 5、[1,7]； 6、(4,??) 97、[0,43（必修3）bs；（必修4）[1,]； 10、1511 ]； 8、[2,??)； 9、
33由B二、证明：（1）延长AE交圆O1与F连接CF1。1，
平分?BAC??BAE??DAE，结合AB?AD，故?BAE??DAE，??B??D， 而?CF1A??B?
O1AE?CF1E??CF1A??D
FE?C，E，F1，D四点共圆
F重合，因此F1也是两圆的交点，从而F1和
ACO2D即A， E，F共线。 图2（2）由A，E，F共线，AE平分?BAC?BF?CF，
由对称性得出BF?DF，故CF?BF?DF，因此?CFD为等腰三角形， 由于O2为其外心，故O2F?CD即O2F?AD 三、（1）由点到直线的距离公式得：d?ax0?by0?2b?1a?b22?ax0?b(y0?2)?1
因d是常数，故?
?x0?0?x0?0，即P(0,2)，从而d?1 ??y?2?0y?2?0?03
（2）由（1）知，P(0,2)到直线系M中任一条直线的距离都是1，因此直线系M中每一条直线都是以P为圆心，以1为半径的圆（圆x2?(y?2)2?1）的切线
由平面几何知识，圆内的每一点都不被其切线经过，圆上的每一点只能作出一条切线，而圆外的每一点均能作出该圆的两条切线，故Q点的轨迹是圆及其内部，即x2?(y?2)2?1 四、（必修3）解：设较长的一段长度为a，将a分成的两段长为x，y，
1a?(x?y)?(,1)，
21?x??2?1?若长度为x，y，1?a的三段能构成三角形，则?y?，
2??1?2?a?1?1 311P111???)?ln(3n?1)?(1???????) （2）ln(3n?1)?(1????23n233n画出图形计算出P?由e?x?1?x?ln(x?1)
x1?ln(1?1)?ln2??11??ln(1?)?ln3?ln222??11? ?ln(1?)?ln4?ln3??33???????1?ln(1?1)?ln(3n?1)?ln(3n)?3n?3n以上各式相加得：ln(3n?1)?(1?11111P??????)，即ln(3n?1)?(1???????) 233n23n（必修4）（1）注意到函数f(x)的定义域是R，?x?R，
f(?x)?(?x)2?2asin(cos(?x))?a2?f(x)，故f(x)为偶函数
（2）由于f(x)?0仅有一个实数解，且f(?x)?f(x),故其有唯一解x?0
?f(0)?0?a2?2asin1?a?0或a?sin1
2（i）当a?0时，原方程化为x?0，仅有一个解x?0，符合题意
4
（ii）当a?sin1时，原方程化为x2?4sin1?sin(cosx)?4sin21?0， 而cosx?[?1,1]，故sin(cosx)?sin1?4sin21?4sin1?sin(cosx)
sin(cosx)，等号仅在x?0时成立，符合题意。 ?x2?4sin21?4sin1?综上，a?0或a?sin1
五、证明：（1）由题知lnx1?lnx2?lnx1??lnx2?x1x2?1， 同理x3x4?1 （2）a?x3?x1?x?xb11??42，b?x4?x2，则?x2x4
ax4x2x4x24 m?1而x1?x2，x3?x4?1?x2，1?x4，故lnx2?m?1，lnx4??x2?e而m?1?m?1，x4?e4m?1?x2x4?em?1?4m?1
444?m?1??2?2(m?1)??2?6(m?1) m?1m?1m?14b6即m?3时取到，故的最小值为e m?1a等号在m?1? 5
2013年全国高中数学联赛河南预赛高一试题
