1． Beta函数及其连续性：
称( 含有两个参数的 )含参积分
一型积分. 当
和
为Euler第
中至少有一个小于1 时, 该积分为瑕积分. 下证对
时点
和
均为瑕点. 故把积
, 该积分收敛. 由于
分
分成
和
考虑.
:
负,
时为正常积分;
时, 点
为瑕点. 由被积函数非
和 ,
( 由Cauchy判法) 积分
收敛 . ( 易见
时, 点
时积分
发散 ).
非负,
: 时为正常积分; 为瑕点. 由被积函数
和 ,
( 由Cauchy判法) 积分
收敛 . ( 易见
时积分
发散 ).
综上, 时积分
,
收敛. 设D
于是, 积分
定义了D内的一个二元函数. 称该函数为Beta函数, 记为
, 即
=
不难验证, 函数在D内闭一致收敛. 又被积函数在D内连续, 因此 ,
函数是D内的二元连续函数. 2.
证
函数的对称性: =
.
.
由于
函数的两个变元是对称的, 因此, 其中一个变元具有的性质另一
个变元自然也具有.
3. 递推公式: .
证
,
而
,
代入
式, 有 ,
解得 .
由对称性, 又有
.
4. 函数的其他形式:
ⅰ> 令
, 有
,
因此得 , .
ⅱ> 令
, 可得
,
.
特别地 ,
,
.
ⅲ> 令
, 有
=
=
,
即 ,
ⅳ> 令
, 可得
.
ⅴ> , .
三.
函数和
函数的关系:
函数和
函数之间有关系式
,
以下只就 用到
和
取正整数值的情况给予证明.
和
取正实数值时, 证明
函数的变形和二重无穷积分的换序.
函数的递推公式, 有
,
证 反复应用 而
.
特别地, 就有
余元公式——
.
且 或 时, 由于
,
函数与三角函数的关系： 对
，有
.
该公式的证明可参阅: Фихтенгалъц , 微积分学教程 Vol 2 第3分册, 利用余元公式, 只要编制出对
, 查表求得
时 的近似值.
的函数表, 再利用三角函数表, 即可
四. 利用Euler积分计算积分:
例3 利用余元公式计算
.
解 ,
.
例4 求积分
.
解 令
, 有
I
.
例5 计算积分 .
数学分析教案(华东师大版)第十九章含参量积分
