2019年
2.3.2 双曲线的几何性质
学习目标：1.了解双曲线的几何性质．(重点) 2.会求双曲线的渐近线、离心率、顶点、焦点坐标等．(重点) 3.会用双曲线的几何性质处理简单的问题．(难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．双曲线的几何性质 标准方程 x2y2－＝1(a＞0，b＞0) a2b2y2x2－＝1(a＞0，b＞0) a2b2图形 范围 对称性 顶点 离心率 渐近线 2.等轴双曲线 x≥a或x≤－a y≥a或y≤－a 对称轴：x轴，y轴，对称中心：原点O A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) ce＝ aby＝±x aay＝±x b实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，等轴双曲线的离心率e＝2. 3．离心率对双曲线开口大小的影响
x2y2
以双曲线2－2＝1(a>0，b>0)为例．
abca2＋b2e＝＝＝aab2bb1＋2，故当的值越大，渐近线y＝x的斜率越大，双曲线的开口aaa越大，e也越大，所以e反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大．
[基础自测]
1．判断正误：
(1)等轴双曲线的离心率是2.( )
y2x2b(2)方程2－2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x.( )
abax2y2
(3)离心率越大，双曲线2－2＝1的渐近线斜率绝对值越大．( )
ab
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【解析】 (1)√.因为a＝b，所以c＝2a，所以e＝＝2.
cay2x2aa(2)×.由2－2＝1，得y＝±x，所以渐近线方程为y＝±x.
abbbbc2－a2b2
(3)√.由＝＝e－1(e＞1)，所以e越大，渐近线y＝±x斜率的绝对值越大．
aaa【答案】 (1)√ (2)× (3)√
2．双曲线x－＝1的渐近线方程为________，离心率e＝________.
3
【导学号：95902117】
【解析】 a＝1，b＝3，∴渐近线方程为y＝±3x， 离心率e＝＝2
y2
ca1＋3
＝2. 1
【答案】 y＝±3x 2
[合 作 探 究·攻 重 难]
由双曲线的标准方程求几何性质 求双曲线nx－my＝mn(m＞0，n＞0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．
[思路探究]
化为标准得双曲线的
→求出a、b、c→
方程形式几何性质
2
2
2
2x2y2
【自主解答】 把方程nx－my＝mn(m＞0，n＞0)，化为标准方程－＝1(m＞0，n＞
mn0)，
由此可知，实半轴长a＝m，虚半轴长b＝n，c＝m＋n， 焦点坐标(m＋n，0)，(－m＋n，0)，离心率e＝＝
cam＋n＝m1＋.
nm顶点坐标为(－m，0)，(m，0)．∴渐近线的方程为y＝±[规律方法]
1．由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤： (1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键． (2)由标准方程确定焦点位置，确定a、b的值．
(3)由c＝a＋b求出c值，从而写出双曲线的几何性质．
2
2
2
nmnx＝±x.
mm
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2．(1)由双曲线方程求其几何性质时，要与椭圆区分开，不能混淆，如对椭圆a＝b22
c＋c，而对双曲线则是c＝a＋b；对椭圆e＝＝a2
2
2
2b2c1－2，对双曲线则是e＝＝aab21＋2. a(2)求双曲线的渐近线方程时，只需将双曲线方程中的常数项化为零即可得到． [跟踪训练]
1．求双曲线x－3y＋12＝0的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.
【导学号：95902118】
【解】 将方程x－3y＋12＝0化为标准方程为－＝1，∴a＝2，b＝23，c＝4，
412因此顶点A1(0，－2)，A2(0,2)，焦点坐标F1(0，－4)，F2(0,4)，实轴长2a＝4，虚轴长2b＝43，离心率e＝2，渐近线方程为y＝±
3x. 3
2
2
2
2
y2x2
由双曲线的几何性质求标准方程 求适合下列条件的双曲线标准方程： (1)离心率为2，焦点到渐近线的距离等于3； 3
(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x；
2
(3)与双曲线x－2y＝2有公共的渐近线，且过点M(2，－2)． [思路探究] →求双曲线的标准方程
【自主解答】 (1)依题意，b＝3，＝2?a＝1，c＝2， ∴双曲线的方程为x－＝1或y－＝1.
33
3xy(2)设以y＝±x为渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
24992
当λ>0时，a＝4λ，∴2a＝24λ＝6?λ＝；
4当λ<0时，a＝－9λ，∴2a＝2－9λ＝6?λ＝－1. ∴所求的方程为－＝1和－＝1.
98194
(3)设与双曲线－y＝1有公共渐近线的双曲线方程为－y＝k，将点(2，－2)代入得22
2
2
2
2
2
2
分析双曲线
的几何性质
→求a，b，c→确定讨论焦点位置
cay2
2
x2
x24y2y2x2
x2
2
x2
2
2019学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3 双曲线 2.3.2 双曲线的几何性质学案 苏教版选修1-1
